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- 2024-04-10 发布
2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（上）12月月考数学试卷（文科）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（﹣2，3）的抛物线方程是（ ）
A．y2=x B．x2=y
C．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y
2．数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（n∈N*），则a5的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．已知集合A={x|＜0}，B={x||x|＜a}，则“a=1”是“B⊆A”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在等差数列{an}中，a1，a2015为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1008+a2014=（ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
5．已知命题p：“∀x＞0，有ex≥1成立，则￢p为（ ）
A．∃x0≤0，有ex0＜l成立 B．∃x0≤0，有ex0≥1成立
C．∃x0＞0，有ex0＜1成立 D．∃x0＞0，有ex0≤l成立
6．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
7．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且a＜b，则双曲线﹣=1的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．设函数f（x）=xm+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，点P（m，n）表示的平面区域内存在点（x0，y0）满足y0=loga（x0+4），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，）∪（1，3） B．（0，1）∪（1，3） C．（，1）∪（1，3] D．（0，1）∪[3，+∞）
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ．
14．已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则f′（1）= ．
15．在等比数列{an}中，若a5+a6+a7+a8=，a6a7=﹣，则+++= ．
16．下列命题：
①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．
其中真命题是 ．
三．解答题（共6小题，共计70分）
17．已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣16．
（1）求a、b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值．
18．设命题p：≤；命题 q：关于x的不等式x2﹣4x+m2≤0的解集是空集，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
19．如图，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，且y1y2=﹣1．
（1）求证：M点的坐标为（1，0）；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．
20．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}
的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．
21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（上）12月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（﹣2，3）的抛物线方程是（ ）
A．y2=x B．x2=y
C．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程．
【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点 （﹣2，3），
设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0）
∴9=4p，解得p=，
∴y2=﹣x．
（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点 （﹣2，3），
设它的标准方程为x2=2py（p＞0）
∴4=6p，
解得：p=．
∴x2=y
∴抛物线方程是y2=﹣x或x2=y．
故选：D．
2．数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（n∈N*），则a5的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】数列递推式．
【分析】根据递推公式an+1=an+an+2，得an+2=an+1﹣an，
把a1=1，a2=2带入可依次求出前5项，从而得到答案．
【解答】解：由an+1=an+an+2，得an+2=an+1﹣an，
∴a3=a2﹣a1=1，a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2．
故选：A．
3．已知集合A={x|＜0}，B={x||x|＜a}，则“a=1”是“B⊆A”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】集合的包含关系判断及应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】化简集合A，再讨论集合B，从而确定充分，必要性．
【解答】解：A={x|＜0}=（﹣1，2），
若a=1时，B=（﹣1，1）⊆A；
当a≤0时，B⊆A；
故“a=1”是“B⊆A”的充分不必要条件，
故选：A．
4．在等差数列{an}中，a1，a2015为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1008+a2014=（ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据题意和韦达定理求出a1+a2015，由等差数列的性质求出a2+a1008+a2014的值．
【解答】解：因为a1，a2015为方程x2﹣10x+16=0的两根，
所以a1+a2015=10，
由等差数列的性质得，2a1008=10，即a1008=5，
所以a2+a1008+a2014=3a1008=15，
故选：B．
5．已知命题p：“∀x＞0，有ex≥1成立，则￢p为（ ）
A．∃x0≤0，有ex0＜l成立 B．∃x0≤0，有ex0≥1成立
C．∃x0＞0，有ex0＜1成立 D．∃x0＞0，有ex0≤l成立
【考点】命题的否定．
【分析】利用￢p的定义即可得出．
【解答】解：命题p：“∀x＞0，有ex≥1，
则￢p为∃x0＞0，有ex0＜1成立．
故选：C．
6．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．
【解答】解：在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21
故3+3q+3q2=21，
∴q=2，
∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84
故选C．
7．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】
根据椭圆短轴上的两个顶点与两个焦点构成一个正方形，可得b=c，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：由题意，∵椭圆短轴上的两个顶点与两个焦点构成一个正方形，
∴b=c
∴
∴椭圆的离心率为e=
故选：D
8．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】等比数列的性质．
【分析】设等比数列项数为2n项，先根据奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比，进而根据奇数项的和求得n
【解答】解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
则S奇=85，S偶=170，所以q==2，
∴S奇==85，解得n=4，
这个等比数列的项数为8，
故选择C
9．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且a＜b，则双曲线﹣=1的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】
由数列知识求出a，b，由双曲线性质求出c，由此可求出双曲线的离心率e．
【解答】解：由题设知，
解得a=3，b=4，
∴c==5，
∴e==．
故选：D．
10．已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】先结合函数y=（x﹣1）f'（x）的图象得到当x＞1时，f'（x）＞0，根据函数的单调性与导数的关系可知单调性，从而得到y=f（x）在（1，+∞）上单调递增，从而得到正确选项．
【解答】解：结合图象可知当x＞1时，（x﹣1）f'（x）＞0即f'（x）＞0
∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递增
故选B．
11．设函数f（x）=xm+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和；导数的运算．
【分析】函数f（x）=xm+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．
【解答】解：f′（x）=mxm﹣1+a=2x+1，
∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），
==﹣，
用裂项法求和得Sn=．
故选A
12．已知函数f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，点P（m，n）表示的平面区域内存在点（x0，y0）满足y0=loga（x0+4），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，）∪（1，3） B．（0，1）∪（1，3） C．（，1）∪（1，3] D．（0，1）∪[3，+∞）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，可得方程x2+mx+=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=loga（x+4）的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，
∴f′（x）=x2+mx+=0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，
则x1+x2=﹣m，x1x2=＞0，
（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=+m+1＜0，
即n+3m+2＜0，
∴﹣m＜n＜﹣3m﹣2，为平面区域D，
∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（﹣1，1）
∴要使函数y=loga（x+4）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜loga（﹣1+4）
∴loga3＞1，解得1＜a＜3或0＜a＜1，
故选：B．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ．
【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．
【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．
由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．
又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．
∴双曲线的方程为．
故答案为．
14．已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则f′（1）= ．
【考点】导数的运算．
【分析】f′（1）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f′（1）的值．
【解答】解：∵f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，
∴f′（x）=﹣2f′（1）x+3
∴f′（1）=1﹣2f′（1）+3，
解得f′（1）=，
故答案为：
15．在等比数列{an}中，若a5+a6+a7+a8=，a6a7=﹣，则+++= ﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的性质可得a5a8=a6a7=﹣，由分式的性质化简可得原式=代入数据化简可得．
【解答】解：由等比数列的性质可得a5a8=a6a7=﹣，
∴+++=（+）+（+）=+===﹣，
故答案为：﹣
16．下列命题：
①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．
其中真命题是 ①② ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据已知中的原命题，写出否命题，可判断①；判断原命题的真假，结合互为逆否的两个命题真假性相同，可判断②；根据已知中的原命题，写出逆命题，可判断③
【解答】解：①“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不相等的四边形不是正方形”，是正方形，故①为真命题；
②“梯形不是平行四边形”为真命题，故其逆否命题为真命题；
③“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题为“若a＞b，则ac2＞bc2”，当c=0时不成立，故为假命题；
故答案为：①②
三．解答题（共6小题，共计70分）
17．已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣16．
（1）求a、b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
【分析】（1）先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0，f（2）=c﹣16，即可求得a，b值；
（2）由（1）求出f（x）的极大值，由极大值为28，可求出c值，然后求出f（﹣3），f（3），及函数在区间[﹣3，3]上的极值，其中最大者最大值．
【解答】解：（1）因为f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b，
由于f（x）在点x=2处取得极值，故有，即，
化简得，解得．
（2）由（1）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12，
令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上为增函数．
由此可知f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣16+c．
由题意知16+c=28，解得c=12．此时，f（﹣3）=21，f（3）=3，f（2）=﹣4，
所以f（x）在[﹣3，3]上的最大值为28．
18．设命题p：≤；命题 q：关于x的不等式x2﹣4x+m2≤0的解集是空集，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】求出命题P与命题q分别成立时，m的范围，利用复合命题的真假，推出p，q有且只有一个为真．然后求解m的范围．
【解答】解：由≤；得，∴0≤m＜3．
∴p：0≤m＜3．
由关于x的不等式x2﹣4x+m2≤0的解集是空集，得△=16﹣4m2＜0，
∴m＞2或m＜﹣2．
∴q：m＞2或m＜﹣2．
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p，q有且只有一个为真．
若p真，q假，则0≤m＜3且﹣2≤m≤2，∴0≤m≤2；
若p假，q真，则m＜0或m≥3，同时m＜﹣2或m＞2，
∴m＜﹣2或m≥3．
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[0，2]∪[3，+∞）．
19．如图，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，且y1y2=﹣1．
（1）求证：M点的坐标为（1，0）；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）设出点M的坐标和直线l的方程，代入抛物线方程利用韦达定理求得x0=﹣y1y2，进而求得x0，则点M的坐标可得．
（2）利用y1y2=﹣1，求得x1x2+y1y2=0，进而判断出OA⊥OB．
（3）利用（1）中的方程根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而求得|y1﹣y2|的表达式，进而利用|OM|代入三角形面积公式求得三角形AOB的面积表达式，利用m的范围求得面积的最小值．
【解答】解：（1）设M点的坐标为（x0，0），直线l方程为x=my+x0，
代入y2=x得y2﹣my﹣x0=0①，
y1，y2是此方程的两根，
∴x0=﹣y1y2=1，即M点的坐标为（1，0）．
（2）∵y1y2=﹣1，
∴x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=y1y2（y1y2+1）=0
∴OA⊥OB．
（3）由方程①，y1+y2=m，y1y2=﹣1，且|OM|=x0=1，
于是==≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．
20．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，建立方程组，求出d，q，即可求an与bn；
（Ⅱ）确定数列{cn}的通项，利用裂项法，可求{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，
因为所以…
解得 q=3或q=﹣4（舍），d=3． …
故an=3+3（n﹣1）=3n，． …
（Ⅱ）∵Sn=，
∴cn===（﹣），
∴Tn= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣
）=．
21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b，即可得到椭圆方程．
（2）设出P，直线l的方程，联立直线与椭圆方程，设出AB坐标，通过韦达定理表示：|PA|2+|PB|2，化简求解即可．
【解答】解：（1）因为C的焦点在x轴上且长轴长为4，
故可设椭圆C的方程为： +=1（2＞b＞0），
因为点（1，）在椭圆C上，所以+=1，
解得b2=1，
所以，椭圆C的方程为： +y2=1．
（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），由已知，直线l的方程是y=，
由，消去y得，2x2﹣2mx+m2﹣4=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
所以有，x1+x2=m，x1x2=，
所以，|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22
=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2
= [（x1﹣m）2+（x2﹣m）2]
= [x12+x22﹣2m（x1+x2）+2m2]
= [（x1+x2）2﹣2m（x1+x2）﹣2x1x2+2m2]
= [m2﹣2m2﹣（m2﹣4）+2m2]=5（定值）．
所以，|PA|2+|PB|2为定值．
22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．
【解答】解：（1）f'（x）=﹣（x＞0）
依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．
则a≤=在x＞0恒成立，
即a≤[﹣1]min x＞0
当x=1时，﹣1取最小值﹣1
∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]
（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴
设g（x）=则g'（x）=列表：
X
（0，1）
1
（1，2）
2
（2，4）
g′（x）
+
0
﹣
0
+
g（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，
又g（4）=2ln2﹣b﹣2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则，得ln2﹣2＜b≤﹣．