- 886.00 KB
- 2024-04-07 发布
临沂第十九中学第二次调研考试（数学理）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)
1．已知函数的图象上一点(1,2)及邻近一点,则等于( )
A. B. C. D.
2．设则等于( )
3．曲线在点处的切线的斜率是( )
A. B. C. D.不存在
4．如果曲线在点处的切线方程为,那么( )
A. B. C. D.不存在
5．下列函数在点处没有切线的是( )
A. B. C. D.
6．函数的的单调递增区间是 ( )
A. B. C. D.和
7．若函数是定义在R上的可导函数,则是为函数的极值点的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．下列各式中值为1的是 ( )
A. B. C. D.
9．若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是( )
10．曲线在点处的切线方程为,则的值分别为 ( )
A. B. C. D.
11．设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在 上,恒成立,则称函数函数在上为“凸函数”.已知当时,在上是“凸函数”.则在上 ( )
A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值
C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值
12．如图,曲线上任一点的切线交轴于,过作垂直于轴于,若的面积为,则与的关系满足 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)
13．函数的单调递增区间是_____________
14．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .
15．已知函数在x=2处取得极值9,则
16．已知函数的图象如图所示,它与直线在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则的值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17．(12分)求由曲线及围成的平面图形面积.
18．(12分)已知函数的图象关于原点成中心对称.
(1)求的值;
(2)求的单调区间及极值.
19．(12分)某厂生产产品x件的总成本(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x 满足:,生产100件这样的产品单价为50万元.
(1)设产量为件时,总利润为(万元),求的解析式;
(2)产量定为多少件时总利润(万元)最大?并求最大值(精确到1万元).
20．(12分)设函数.
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.
21．(12分)已知函数,其中
(1)若在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求的单调区间;
(3)若的最小值为1,求a的取值范围。
22．(14分)已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).
(1)若,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)当时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
临沂第十九中学第二次调研考试（数学理）
答案
1.D
2.A ,.
3.B ∵∴.
4.B 由切线的斜率即
5.D ∵在处不可导.
6.C 由得.
7.B 如,但不是函数的极值点.
8.C .
9.A ∵对称轴为∴,的图象是斜率为正,在y轴上的截距为负,也即直线过第一、三、四象限.
10.A 方程可化为.当时,.
又,于是解得
11.C 因,对于恒成立.
∴,又当时也成立,有.而,∴.
于是,由得或(舍去),
在上递增,在上递减,只有C正确
12.D ,∴,,根据导数的几何意义,
∴.
13. ,令,解得
14. 曲线和在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1,它们与轴所围成的三角形的面积是.
15.－24 ∵,由已知,
解得,,∴
16.－3 由图知方程有两个相等的实根,于是,
∴,有,∴.
又,得.
17.解:由,得,又由,得
所求平面图形面积为:
.
18.解:(1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)是奇函数,
∴
得=,
于是恒成立,∴,解得;
(2)由(1)得,∴
令,得,令,得,令,得或.
∴的递减区间为,递增区间为和,
∴,.
19.解:(1)由题意有解得∴,
∴总利润=;
(2)由(1)得,令,
令,得,∴,于是,
则,所以当产量定为25时,总利润最大.
这时.
答:产量定为件时总利润最大,约为万元.
20.解:(1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得,即的最大值为
(2) 因为当时,;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
21.解:(1)
∵在x=1处取得极值,∴解得
(2) ∵ ∴
①当时,在区间∴的单调增区间为
②当时,
由
∴
(3)当时,由(2)①知,
当时,由(2)②知,在处取得最小值
综上可知,若得最小值为1,则a的取值范围是
22.解:(1)当时,,当,,
故函数在上是增函数;
(2),当,,
当时,在上非负(仅当,x=时,),
故函数在上是增函数,此时.
∴当时,的最小值为1,相应的x值为1.
(3)不等式,可化为.
∵, ∴且等号不能同时取,所以,即,
因而(),
令(),又,
当时,,,
从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,
故的最小值为,所以a的取值范围是.