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- 2024-04-06 发布
重庆市江津中学2017-2018学年高二下学期第二次阶段考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.下面几种推理中是演绎推理的是（ ）
A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B.猜想数列的通项公式为
C.半径为的圆面积为，则单位圆的面积为
D.由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
3.下列求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
5.设其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则，）
A．7539 B．6038 C．7028 D．6587
6.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）
A． B．7 C． D．28
7.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
8.《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了 6 户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是（ ）
A．216 B．420 C．720 D．1080
9.已知，随机变量的分布列如下，则当增大时（ ）
A. 增大，增大 B.减小，增大
C.增大，减小 D.减小，减小
10.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蚊龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务六必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A. 240 种 B. 188 种 C. 156 种 D. 120 种
11.函数的定义域为，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数是上的增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数的导数为 ．
14. ．
15.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示，给出关于的下列命题：
①函数在处取得极小值;
②函数在是减函数，在是增函数；
③当时，函数有4个零点；
④如果当时，的最大值是2，那么的最小值为0.
其中所有的正确命题是 (写出正确命题的序号).
16.有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为.假设每题答对与否相互独立，记
为该考生答对的题数，为该考生的得分，则 ， （用数字作答）.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知
（1）求；
（2） 求.
18.甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛， 每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题.根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响.
（1）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；
（2）记为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
19.已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
20. 2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3 人中女生人数为，写出的分布列，并求.
附：，其中.
21.已知函数
（1）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）若的最大值为2，求实数的值.
22.已知函数有两个极值点(为自然对数的底数).
（1）求实数的取值范围；
（2）求证.
试卷答案
一、选择题
1-5: BCBAD 6-10: BADBD 11、12：AC
二、填空题
13. 14. 15.①③④ 16.
三、解答题
17. 解：（1）∵知，
令，可得，
∴.
（2）根据的解析式，可得展开式中含的项为：
，∴.
18.解：（1）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，
每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题.
甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响.
∴甲过关的概率，
乙关的概率，
丙过关的概率，
∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：
.
（2）记为甲、乙、丙二名大学生中过关的人数，则的可能取值为
∴随机变量的分布列为：
数学期望.
19. 解：（1）∵
∴，所求的切线斜率为0，又切点为
故所求切线方程为.
（2）∵且
令得，令得.
从而函数的单调递增区间为，单调递减区间为
显然函数只有极大值，且极大值为.
20.解：（1）因为，
所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.
（2）根据分层抽样方法得，男生人，女生人
所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人.
由题意可知，的可能取值有0, 1, 2, 3.
，，
，，
∴的分布列是：
∴.
21.解：（1）若在上是减函数，
则在恒成立，
，
∴，设，
则，
∵，∴递增，
又，故.
（2）由，要使，
故的递减区间是，递增区间是，
∴，即，
∴.
22.解：（1）∵，∴.
设，则.
令，解得.
∴当时，；当时，.
∴.
当时，，∴函数单调递增，没有极值点；
当时，，且当时，；当时，.
∴当 时， 有两个零点.
不妨设，则.
∴当函数有两个极值点时，的取直范围为.
（2）由（1）知，为的两个实数根，，在上单调递减.
下面先证，只需证.
∵，得，∴.
设，
则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴
∵函数在上也单调递减，∴.
∴要证，只需证，即证.
设函数，则.
设，则，
∴在上单调递增，∴，即
∴在上单调递增，∴.
∴当时，，则.