- 1.29 MB
- 2024-04-05 发布
- 1 -
青岛市 2020 年高三统一质量检测
数学试题 2020.04
全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟｡
一､单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知 i 是虚数单位,复数
1 2
,
i
z
i
则 z 的共轭复数 z 的虚部为
A. –i B.1 C. i D. -1
2.已知集合 2{ | log 2}A x R x ,集合 B={x∈R||x-1|<2}, 则 A∩B=
A. (0,3) B. (-1,3) C. (0,4) D. (-∞,3)
3.已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 (单位:元)服从正态分布
2(2000,100 ),N 则该市某居
民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为
A.0.9759 B.0.84 C.0.8185 D.0.4772
附:随机变量 服从正态分布 2( , ),N 则 P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,
( 2 2 ) 0.9544P , P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .
4.设
0.22 ,a b sin2 2, log 0.2,c 则 a, b,c 的大小关系正确的是
A. a>b> c B. b>a> c C. b>c>a D. c>a>b
5.已知函数
3 9, 0
( ) ( 2.718...
, 0
x
x
x
f x e
xe x
为自然对数的底数),若 f(x)的零点为 α,极值点为 β,则 α+β=
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.已知四棱锥 P-ABCD 的所有棱长均相等,点 E,F 分别在线段 PA, PC 上,且 EF//底面 ABCD,则异面直线 EF 与
PB 所成角的大小为
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.在同一直角坐标系下,已知双曲线 C:
2 2
2 2
1( 0, 0)
y x
a b
a b
的离心率为 2,双曲线 C 的一个焦点到一
条渐近线的距离为 2,函数 sin(2 )
6
y x
的图象向右平移
3
单位后得到曲线 D,点 A,B 分别在双曲线 C 的下支
和曲线 D 上,则线段 AB 长度的最小值为
A.2 . 3B . 2C D.1
8.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型
均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为
4
,
5
且各次答对与否相互独立,则该参赛者答
完三道题后至少答对两道题的概率
112
.
125
A
80
.
125
B
113
.
125
C
124
.
125
D
二､多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选
- 2 -
对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分｡
9.已知向量 (1,1), ( 3,1), (1,1),a b a b c
r rr r r
设 ,a b
rr
的夹角为 θ,则
. | | | |A a b
rr
.B a c
r r
. / /C b c
r r
D. θ=135°
10.已知函数
2 2( ) sin 2 3sin cos cos ,f x x x x x x∈R,则
A. -2≤f(x)≤2 B. f(x) 在区间(0,π)上只有 1 个零点
C. f(x) 的最小正周期为 π .
3
D x
为 f(x)图象的一条对称轴
11.已知数列{ }na 的前 n项和为 S 1 1, 1, 2 1,n n na S S a 数列
1
2
{ }
n
n na a
的前 n项和为
*, ,nT n N 则
下列选项正确的为
A.数列{ 1}na 是等差数列 B.数列{ 1}na 是等比数列
C.数列{ }na 的通项公式为 2 1n
na . 1nD T
12.已知四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的上下底面均为正方形,其中 2 2,AB 1 1 1 1 12, 2,A B AA BB CC
则下述正确的是
A.该四棱合的高为 3 1 1.B AA CC
C.该四棱台的表面积为 26 D.该四棱合外接球的表面积为 16π
三､填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分｡
13.若∀x
1(0, ), 4x x a 恒成立,则实数 a 的取值范围为____
14.已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则 f(2)=____
15. 已知 a∈N,二项式
61
( )
a
x
x
展开式中含有
2x 项的系数不大于 240,记 a的取值集合为 A,则由集合 A中
元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .
16.2020 年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆 Q 的圆心,圆 Q 过坐
标原点 O;点 L､S 均在 x 轴上,圆 L与圆 S 的半径都等于 2,圆 S､圆 L均与圆 Q 外切｡已知直线 l 过点 O .
(1) 若直线 l 与圆 L､圆 S 均相切,则 l 截圆 Q 所得弦长为____ ;
(2)若直线 l 截圆 L､圆 S､圆 Q 所得弦长均等于 d,则 d=____.
- 3 -
(本题第一个空 2 分,第二个空 3 分)
四､解答题:本题共 6 小题,共 70 分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡
17.(10 分)
设 等 差 数 列 { }na 的 前 n 项 和 为 ,nS 等 比 数 列 { }nb 的 前 n 项 和 为 .nT 已 知
1 1 2,a b 2 36, 12,SS
2
4
,
3
T n∈N
*
.
(1)求{ }, { }n na b 的通项公式;
(2)是否存在正整数 k,使得 6kS k 且
13
9
kT ？若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由｡
18.(12 分)
在△ABC中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,
2 2 2 22 ( )(1 tan )b b c a A .
(1)求角 C ;
(2)若 2 10,c D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度｡
条件①:△ABC 的面积 S=4 且 B> A;
条件②:
2 5
cos .
5
B
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡
19. (12 分)
在如图所示的四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,△BCE为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O
分别为 AB, BE 的中点, OF 是异面直线 AB 和 OC的公垂线｡
(1)证明:平面 ABE⊥平面 BCE;
(2)记 OCDE 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
- 4 -
20. (12 分)
某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡
(1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表:
年份 2015 2016 2017 2018 2019
成交额（百亿元） 9 12 17 21 27
求成交额 y (百亿元) 与时间变量 x (记 2015 年为 x=1, 2016 年为 x=2,……依次类推)的线性回归方程,并预测
2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;
(2)在 2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加 A､B两店各一个订单
的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在 A､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 p､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到
的订单总数量为 X .
( i)求 X 的分布列及 E(X);
(ii)已知每个订单由 k(k≥2,k∈N
*
)件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 W 总数量为 Y,假设
2
7sin sin
,
4 4
k kp q
k k k
,求 E(Y)取最大值时正整数 k的值.
附:回归方程 ˆŷ bx a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
1 1
2 2 2
1 1
( ) )
ˆ ˆ;
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nx y x x y y
b a y bx
x nx x x
.
21. (12 分)
已知 O 为坐标原点 ,椭圆 C
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
a b
a b
的左 ,右焦点分别为点 1 2, ,F F 2F 又恰为抛物线
D
2: 4y x 的焦点,以 1 2F F 为直径的圆与椭圆 C仅有两个公共点.
(1)求椭圆 C的标准方程;
(2) 若直线 l与 D相交于 A,B两点,记点 A,B到直线 x=-1的距离分别为 1,d 2 1 2,| | .d AB d d 直线 l与 C相
交于 E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为 1 2, .S S
(i)证明: 1EFF 的周长为定值;
(ii)求 2
1
S
S
的最大值.
- 5 -
22. (12 分)
已知函数
2( ) ln 2f x ax x x 的图象在点(1,1)处的切线方程为 y=1.
(1)当 x∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;
(2)设函数 g(x)=xf(x),当 x∈(0,1)时,证明: 0