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- 2024-04-05 发布
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷
高二数学(文科) 2017.7
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
题号
一
二
三
本卷总分
15
16
17
18
19
20
分数
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 设集合，，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 若等比数列满足，，则公比等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5. “成等差数列”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
6. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
（A）值域为
（B）图象关于轴对称
（C）定义域为
（D）在区间上单调递增
7. 已知是函数的一个零点，且，，则（ ）
（A），
（B），
（C），
（D），
8. 在股票买卖过程中，经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势，其中一种曲线是即时价格曲线，一种是平均价格曲线. 例如：表示开始交易后小时的即时价格为元，表示开始交易后小时内所有成交股票的平均价格为元. 下列给出的四个图象中，实线表示，虚线表示. 其中可能正确的是（ ）
OO
xO
yO
（A）
OO
xO
yO
（B）
OO
xO
yO
（C）
OO
xO
yO
（D）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9. 已知命题，则______________.
10. 曲线在处切线的斜率为______.
11. 当时，函数的最小值为______.
12. 已知，，则______.
13. 若函数 则_______；不等式的解集
为_______.
14. 已知非空集合同时满足以下四个条件：
①； ②；
③； ④.
注：其中、分别表示、中元素的个数.
如果集合中只有一个元素，那么_____；
如果集合中有3个元素，请写出一对满足条件的集合：_______________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知等差数列的前项和为，，.
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)设集合，求集合中的所有元素.
16．（本小题满分13分）
已知函数.
(Ⅰ) 求的单调区间；
(Ⅱ) 若的定义域为时，值域为，求的最大值.
17．（本小题满分13分）
已知函数，.
(Ⅰ) 当时，解不等式；
(Ⅱ) 若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
18．（本小题满分13分）
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元. 某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为吨.
(Ⅰ) 若，求该月甲、乙两户的水费；
(Ⅱ) 求关于的函数；
(Ⅲ) 若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量.
19．（本小题满分14分）
已知函数，.
(Ⅰ) 当时，求的极值；
(Ⅱ) 若对于任意的，恒成立，求的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数和.
(Ⅰ) 若，求证：的图象在图象的上方；
(Ⅱ) 若和的图象有公共点，且在点处的切线相同，求的取值范围.
北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷
高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.7
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C； 2.D； 3. A； 4. D； 5. A； 6. D； 7. D； 8. B.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 对任意，都有； 10. ； 11. ； 12. ；13. ；
14. ；
，，或，，或，．
注：14题第二个空只需填对一组即可；一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由题意得 ， ……………4分
解得 ， ……………6分
所以. ……………8分
(Ⅱ)， ……………10分
由，整理得，
解得， ……………12分
所以集合中的所有元素为. ……………13分
16.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由，得. …………… 3分
令，得或.
与在区间上的情况如下：
…………… 6分
所以，在区间 、上单调递增；在区间上单调递减. …8分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，函数在区间和上单调递增；在区间上单调递减.
且；；；.
所以，当时，的值域为；当时，，的值域为. ……………12分
所以，的最大值等于. ……………13分
17.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ) 当时，不等式整理得，
即， …………… 3分
解得或，
所以，不等式的解集为. …………… 6分
(Ⅱ)由已知，抛物线的对称轴为. …………… 9分
所以函数在区间上是单调函数.
若在区间上恰有一个零点，则， ……………11分
即，解得.
所以，的取值范围为. ……………13分
18.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ) 当时，甲用水量为5吨，需交水费元. …………2分
乙用水量为3吨，需交水费元. ……………4分
(Ⅱ)当，即时，甲、乙两户用水量均不超过4吨.
； ……………6分
当，，即时，甲用水量超过4吨，乙用水量不超过4吨.
； ……………8分
当，即时，甲、乙用水量均超过4吨.
. ……………9分
所以 ……………10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，函数在各分段区间上都是增函数.
当时，；当时，；
当时，令，解得.
，，
所以，甲用水量为吨；乙用水量为吨. ……………13分
19.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 当时，.
则， ……………2分
所以，在区间上，是减函数；在区间上，是增函数. ……………4分
又，
所以，的极小值为；没有极大值. ……………6分
(Ⅱ) 由，得. ……………7分
当时，，
所以，当时，，当时，，
在区间上是减函数，在区间上是增函数. ……………8分
所以在区间上的最小值为，且，符合题意. …………9分
当时，令，得或，
所以，当时，在区间上，是增函数，
所以在区间上的最小值为，符合题意. ……………11分
当时，，
当时，，在区间上是减函数.
所以，不满足对于任意的，恒成立. …13分
综上，的取值范围为. ……………14分
20.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 当时，.
设，. ……………1分
则， ……………2分
所以，在区间上，是减函数；在区间上，是增函数. ……………4分
所以，的最小值为，又，所以恒成立.
即的图象在图象的上方. ……………6分
(Ⅱ) 设，其中.由已知，.
因为在点处的切线相同，
所以. ……………8分
消去得，依题意，方程有解.……………9分
设，则在上有零点.
，
当时，，函数在上单调递增.
当时，，，所以有零点.
当时，，，所以有零点.
……………11分
当时，令，解得.
与在区间上的情况如下：
令，得 .
此时.所以有零点. ……………13分
综上，所求的取值范围为. ……………14分