2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题4 立体几何2-4-解答题 2 28页

第 2 课时　 表面积和体积的计算问题 考向一　空间几何体的表面积 【例 1 】 (2019 · 厦门一模 ) 已知一个几何体的三视图如图所示 . (1) 求此几何体的 表面积 ① . (2) 如果点 P,Q 在正视图中所示位置 ,P 为所在线段中点 ,Q 为顶点 , 求在几何体表面上 , 从 P 点到 Q 点的 最短路径的长 ② . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 还原出空间几何体 , 求出各个面的面积相加 ② 想到将侧面展开 , 转化为平面图形求解 【解析 】 (1) 由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个 圆柱组成的组合体 , 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的 侧面积和圆柱的一个底面积之和 . S 圆锥侧 = (2πa) · ( a)= πa 2 ,S 圆柱侧 =(2πa) · (2a)=4πa 2 ,S 圆柱底 =πa 2 , 所以 S 表 = πa 2 +4πa 2 +πa 2 =( +5)πa 2 . (2) 沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面 , 如图 . 则 PQ= 所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 【拓展提升 】 求解空间几何体表面积的方法 (1) 已知几何体的三视图求其表面积 , 一般是先根据三视图判断空间几何体的形状 , 再根据题目所给数据与几何体的表面积公式 , 求其表面积 . (2) 多面体的表面积是各个面的面积之和 , 组合体的表面积应注意重合部分的处理 . (3) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面 , 计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算 , 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 . (4) 解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点 , 即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径 , 同时要作出一圆面起到衬托作用 . 【变式训练 】 (2017 · 全国卷 Ⅰ) 如图 , 在四棱锥 P - ABCD 中 ,AB∥CD, 且 ∠ BAP=∠CDP=90°. (1) 证明 : 平面 PAB⊥ 平面 PAD. (2) 若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°, 且四棱锥 P-ABCD 的体 积为 , 求该四棱锥的侧面积 . 【解析 】 (1) 因为 ∠BAP=90°, 所以 AB⊥PA, 因为 ∠CDP=90°, 所以 CD⊥PD, 因为 AB∥CD, 所以 AB⊥PD, 又 PA∩PD=P, 所以 AB⊥ 平面 PAD, 因为 AB⊂ 平面 PAB, 所以平面 PAB⊥ 平面 PAD. (2) 在平面 PAD 内作 PE⊥AD, 垂足为点 E. 由 (1) 知 ,AB⊥ 平面 PAD, 故 AB⊥PE, 可得 PE⊥ 平面 ABCD. 设 AB=x, 则由已知可得 AD= x,PE = x. 故四棱锥 P-ABCD 的体积 V P=ABCD = AB · AD · PE= x 3 . 由题设得 x 3 = , 故 x=2. 从而 PA=PD=2,AD=BC=2 ,PB=PC=2 . 可得四棱锥 P-ABCD 的侧面积为 PA · PD+ PA · AB+ PD · DC+ BC 2 sin 60°=6+2 . 考向二　空间几何体的体积 【例 2 】 如图 , 在直三棱柱 ABC-A′B′C′ 中 ,△ABC 为等 边三角形 ,AA′⊥ 平面 ABC,AB=3,AA′=4,M 为 AA′ 的中 点 ,P 是 BC 上一点 , 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′ 到 M 的最 短路线长为 , 设这条最短路线与 CC′ 的交点为 N, 求 : (1) 该三棱柱的侧面展开图的 对角线长 ① . (2) PC 与 NC 的长 ② . (3) 三棱锥 C-MNP 的体积 . 世纪金榜导学号 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到侧面展开图为矩形 ② 想到勾股定理及平行线分线段成比例 【解析 】 (1) 该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形 , 故对角线长为 . (2) 将该三棱柱的侧面沿棱 BB′ 展开 , 如图 , 设 PC=x, 则 MP 2 =MA 2 +(AC+x) 2 . 因为 MP= ,MA=2,AC=3, 所以 x=2, 即 PC=2. 又因为 NC∥AM, 故 , 即 . 所以 NC= . (3)S △PCN = ×CP×CN= . 在三棱锥 M-PCN 中 , M 到面 PCN 的距离 , 即 h= . 所以 V C-MNP =V M-PCN = · h · S △PCN = 【拓展提升 】 　求体积的常用方法 (1) 分割求和法 : 把不规则图形分割成规则图形 , 然后进行体积计算 . (2) 补形法 : 把不规则几何体补成规则几何体 , 不熟悉的几何体补成熟悉的几何体 , 便于计算其体积 . (3) 等体积转换法 : 选择适当的底面图形求几何体的体积 , 常用于求三棱锥的体积 . 【变式训练 】 如图所示 , 从三棱锥 P-ABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA,PB,PC 剪开成平面图形得到 △ P 1 P 2 P 3 , 且 P 2 P 1 =P 2 P 3 . (1) 在三棱锥 P-ABC 中 , 求证 :PA⊥BC. (2) 若 P 1 P 2 =26,P 1 P 3 =20, 求三棱锥 P-ABC 的体积 . 【解析 】 (1) 由题设知 A,B,C 分别是 P 1 P 3 ,P 1 P 2 ,P 2 P 3 的中点 , 且 P 2 P 1 =P 2 P 3 , 从而 PB=PC,AB=AC, 取 BC 的中点 D, 连接 AD,PD, 则 AD⊥BC,PD⊥BC,AD∩PD=D, 所以 BC⊥ 平面 PAD. 因为 PA⊂ 平面 PAD, 故 PA⊥BC. (2) 由题设有 AB=AC= P 1 P 2 =13,PA=P 1 A=BC=10, PB=PC=P 1 B=13, 所以 AD=PD= =12. 在等腰三 角形 DPA 中 , 底边 PA 上的高 h= 所以 S △DPA = PA · h = 又 BC⊥ 平面 PAD, 所以 V P-ABC =V B-PDA +V C-PDA = BD · S △DPA + DC · S △PDA = BC · S △PDA = ×10×5 = .