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- 2024-04-01 发布
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二上期末考试
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C． D．
2.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
3.命题“，均有”的否定形式是（ ）
A．，均有
B．，使得
C．，均有
D．，使得
4.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（ ）
A． B． C. D．
6.函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）
A． B． C. D．
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（ ）
A.若，，，则 B.若，，，则
C.若，，则 D．若，，，则
8.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9.如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（ ）
A． B． C. D．
10.已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（ ）
A． B． C. D．
11.已知点在正方体的线段上，则最小值为（ ）
A． B． C. D.
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若双曲线的离心率为，则 ．
14.已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为 ．
15.三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
16.已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）
17.如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.
18.已知焦点为的抛物线：过点，且.
（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.
19. 已知函数在处切线为.
（1）求；（2）求在上的值域。
20.在多面体中，四边形是正方形，，，，.
（Ⅰ） 求证：平面；
（Ⅱ）在线段上确定一点，使得平面与平面所成的角为.
21.已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，过点与
轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线：与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若，求的取值范围.
22.已知函数（其中是自然对数的底数.）
（1）讨论函数的单调性；
（2）当函数有两个零点，时，证明：.
数学（理科）试题答案
一、选择题
1-5:ACBAC 6-10:DDBAB 11、12：BC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：以为原点建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
（Ⅰ），，，
，，
，，平面，
平面平面.
（2）当且为的中点时，，，
设，连接，
由（Ⅰ）知平面于，
为与平面所成的角，
，
，
，即与平面所成的角的大小为.
18.解：（1）由得，；
（2）由得所以斜率为
直线方程为得，所以的面积是.
19.解：，直线斜率为，由得；由得
（2）得在递减，在递增，又，，，所以值域是
20.（Ⅰ）四边形是正方形，.
在中，，即得
，即，在梯形中，过点作，交于点.
，，，
在中，可求，，
，.
又，
平面，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，
平面，又平面，
平面平面
如图，过点作平面的垂线，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设，，则.
设平面的一个法向量，则，
即令，得
.
易知平面的一个法向量.
由已知得，
化简得，.
当点满足时，平面与平面所成角的大小为.
21.解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距，当时，，
由题意得， 的面积为，
又，解得，
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）当时，则，不合题意，
当时，由
设，
由，得，
由已知得，即
且，.
由得可得即
，，
显然不成立，
，，即.
解得或.
综上所述，的取值范围为
22.（1）解：因为，
当时，令得，所以当时，，
当时，，所以函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增；
当时，恒成立，故此时函数在上单调递增.
（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，
设函数的两个零点为，，且.