2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：11-3　二项分布与正态分布（讲解部分） 21页

11.3 　二项分布与正态分布 高考理数 考点一    条件概率、相互独立事件及二项分布 考点清单 考向基础 　　1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B ,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率 叫做条件概率,用符号 P ( B | A )来表示,其公式为 P ( B | A )=   . (2)条件概率具有的性质 (i) 0 ≤ P ( B | A ) ≤ 1 ; (ii)如果 B 和 C 是 两个互斥事件 ,则 P ( B ∪ C | A )= P ( B | A )+ P ( C | A ) . 2.相互独立事件 (1)对于事件 A 、 B ,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A 、 B 是相互独立事件. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P ( B | A )= P ( B ), P ( AB )= P ( B | A )· P ( A )= P ( A )· P ( B ). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与   ,   与 B ,   与   也都相互独立. (4)若 P ( AB )= P ( A ) P ( B ),则 A 与 B 相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 4.二项分布的均值与方差 若 X ~ B ( n , p ),则 EX = np , DX = np (1- p ) . 独立重复试验 二项分布 定义 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验 一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X ,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p ,此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X ~ B ( n , p ) 计算 公式 用 A i ( i =1,2, … , n )表示第 i 次试验结果,则 P ( A 1 A 2 … A n )= P ( A 1 )· P ( A 2 ) … P ( A n ) 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P ( X = k )=   p k (1- p ) n - k ( k =0,1,2, … , n ) 考向突破 考向一    条件概率的计算 例1　 抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗 骰子的点数之和大于8的概率为 　　　     . 解析　 设 x 为掷红色骰子得到的点数, y 为掷蓝色骰子得到的点数,则所有可 能的事件与( x , y )建立一一对应的关系,共有36个基本事件.   显然, P ( A )=   =   , P ( B )=   =   , P ( AB )=   . 解法一: P ( B | A )=   =   =   . 解法二: P ( B | A )=   =   . 答案        考向二    相互独立事件概率的计算 例2     (2020届河南南阳中学高三开学考试,14)“三个臭皮匠,赛过诸葛 亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较 高,他独自一人解决项目 M 的概率为 P 1 =0.9;同时,有 n 个水平相同的人也在 研究项目 M ,他们各自独立的解决项目 M 的概率都是0.5.现在李某单独研究 项目 M ,且这 n 个人组成的团队也同时研究项目 M ,且这 n 个人研究项目 M 的 结果相互独立.设这 n 个人的团队解决项目 M 的概率为 P 2 ,若 P 2 ≥ P 1 ,则 n 的最 小值是 　　　     . 解析 　依题意,这 n 个人组成的团队不能解决项目 M 的概率为 P =   =   ,所以 P 2 =1- P =1-   ,所以1-   ≥ 0.9,即   ≥   ,解得 n ≥ 4,所以 n 的 最小值为4. 答案　 4 考向三    独立重复试验与二项分布 例3     (2019安徽巢湖一模,6)某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值 为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的, A 学生对12个选 择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为 X 分, B 学生对 12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其 他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为 Y 分,则 D ( Y )- D ( X )=(　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解析 　设 A 学生答对题的个数为 m ,得分为5 m 分,则 m ~ B   , D ( m )=12 ×   ×   =   ,∴ D ( X )=25 ×   =   .设 B 学生答对题的个数为 n ,得分为5 n 分,则 n ~ B   , D ( n )=12 ×   ×   =   ,∴ D ( Y )=25 ×   =   .∴ D ( Y )- D ( X )=   -   =   .故 选A. 答案     A 考点二    正态分布 考向基础 1.正态曲线及其特点 (1)正态曲线的定义 函数 φ μ , σ ( x )=   ·   , x ∈(- ∞ ,+ ∞ )(其中实数 μ 和 σ ( σ >0)为参数)的图象为 正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 (i) 曲线位于 x 轴上方且与 x 轴不相交; (ii)曲线是单峰的,它关于直线 x = μ 对称; (iii)曲线在 x = μ 处达到峰值   ; (iv) 曲线与 x 轴之间的面积为1; (v)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴移动; (vi)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定, σ 越小,曲线越“瘦高”; σ 越大,曲线越 “矮胖”. 2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a , b ( a < b ),随机变量 X 满足 P ( a < X ≤ b )=   φ μ , σ ( x )d x ,则称 X 的 分布为正态分布,记作 X ~ N ( μ , σ 2 ). (2)正态分布的三个常用数据 (i) P ( μ - σ < X ≤ μ + σ ) ≈ 0.682 7 ; (ii) P ( μ -2 σ < X ≤ μ +2 σ ) ≈ 0.954 5 ; (iii) P ( μ -3 σ < X ≤ μ +3 σ ) ≈ 0.997 3 . 考向突破 考向    正态分布及其应用 例     (2019河南许昌、新乡、平顶山3月联考,5)在某项测量中,测得变量 ξ ~ N (1, σ 2 )( σ >0).若 ξ 在(0,2)内取值的概率为0.8,则 ξ 在(1,2)内取值的概率为   (　　) A.0.2　　　　    B.0.1　　　　    C.0.8　　　　    D.0.4 解析　 变量 ξ ~ N (1, σ 2 ),正态曲线的对称轴为 x = μ =1,∵ ξ 在(0,2)内取值的概率 为0.8,∴ ξ 在(1,2)内取值的概率为   × 0.8=0.4.故选D. 答案     D 方法1      独立重复试验及二项分布问题的求解方法 1. n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率求法: n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次可看作   个互斥事件的和,其中每 一个事件都可看作 k 个 A 事件与( n - k )个   事件同时发生,只是发生的次序不 同,其发生的概率都是 p k (1- p ) n - k (其中 p 为在一次试验中事件 A 发生的概率). 因此, n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为   p k (1- p ) n - k . 2.写二项分布时,首先确定随机变量 X 的取值,然后用公式 P ( X = k )=   p k (1- p ) n - k 计算概率即可. 3.若离散型随机变量 X ~ B ( n , p ),则 E ( X )= np , D ( X )= np (1- p ),即其均值和方差的 求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式. 方法技巧 例1     (2020届甘肃顶级名校第一阶段考试,18)某商场举行有奖促销活动, 顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球 的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的两 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球, 则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 解析　 (1)记事件 A 1 ={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A 2 ={从乙箱中摸出的 1个球是红球}, B 1 ={顾客抽奖1次获一等奖}, B 2 ={顾客抽奖1次获二等奖}, C ={顾客抽奖1次能获奖},由题意, A 1 与 A 2 相互独立, A 1   与   A 2 互斥, B 1 与 B 2 互 斥,且 B 1 = A 1 A 2 , B 2 = A 1   +   A 2 , C = B 1 + B 2 . ∵ P ( A 1 )=   =   , P ( A 2 )=   =   , ∴ P ( B 1 )= P ( A 1 A 2 )= P ( A 1 ) P ( A 2 )=   ×   =   , P ( B 2 )= P ( A 1   +   A 2 )= P ( A 1   )+ P (   A 2 )= P ( A 1 )(1- P ( A 2 ))+(1- P ( A 1 )) P ( A 2 )=   ×   +   ×   =   ,故所求概率为 P ( C )= P ( B 1 + B 2 )= P ( B 1 )+ P ( B 2 )=   +   =   . (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的 概率为   ,∴ X ~ B   , 于是 P ( X =0)=     ×   =   , P ( X =1)=     ×   =   , P ( X =2)=     ×   =   , P ( X =3)=     ×   =   , 故 X 的分布列为 　     X 的数学期望 E ( X )=3 ×   =   . X 0 1 2 3 P         方法2      正态分布及其应用方法 1.对于正态分布 N ( μ , σ 2 ),由 x = μ 是正态曲线的对称轴知 (1) P ( X ≥ μ )= P ( X ≤ μ )=0.5; (2)对任意的 a 有 P ( X < μ - a )= P ( X > μ + a ); (3) P ( X < x 0 )=1- P ( X ≥ x 0 ); (4) P ( a < X < b )= P ( X < b )- P ( X ≤ a ). 2.服从 N ( μ , σ 2 )的随机变量 X 在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用 P ( μ - σ < X ≤ μ + σ ), P ( μ -2 σ < X ≤ μ +2 σ ), P ( μ -3 σ < X ≤ μ +3 σ )的值直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为1这些特殊性质 求解. 例2     (2018河南濮阳二模,18)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业 的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年 “双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后 10天内网购所花时间 T (单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分 布直方图.   由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间 T 近似服从 N ( μ , σ 2 ),其 中 μ 用样本平均值代替, σ 2 =0.24. (1)计算 μ ,并利用该正态分布求 P (1.51< T <2.49); (2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2, 2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽 取10 000名客户,记 X 为这10 000人中目标客户的人数. (i)求 EX ; (ii)问:10 000人中目标客户的人数 X 为何值的概率最大? 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ),则 P ( μ - σ < Z < μ + σ )=0.682 6, P ( μ -2 σ < Z < μ +2 σ )=0.954 4, P ( μ -3 σ < Z < μ +3 σ )=0.997 4.   ≈ 0.49. 解析 　(1) μ =0.4 × (0.050 × 0.8+0.225 × 1.2+0.550 × 1.6+0.825 × 2.0+0.600 × 2.4+ 0.200 × 2.8+0.050 × 3.2)=2, 从而 T 服从 N (2,0.24), 又 σ =   ≈ 0.49, 从而 P (1.51< T <2.49)= P ( μ - σ < T < μ + σ )=0.682 6. (2)(i)任意抽取1名客户, 该客户是目标客户的概率为 P (2< T <2.98)= P ( μ < T < μ +2 σ ) =   P ( μ -2 σ < T < μ +2 σ )=   × 0.954 4=0.477 2. 由题意知 X 服从 B (10 000,0.477 2), 所以 EX =10 000 × 0.477 2=4 772. (ii) X 服从 B (10 000,0.477 2), P ( X = k )=   0.477 2 k (1-0.477 2) 10 000- k =   0.477 2 k ·0.522 8 10 000- k ( k =0,1,2, … ,10 000). 设当 X = k ( k ≥ 1, k ∈N)时概率最大, 则有   得   解得 k =4 772. 故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.