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- 2024-03-31 发布
河北武邑中学2016-2017学年高三年级下学期期中考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.
1.已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设是虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）
A．18 B．20 C.21 D．25
5.已知向量，，若，则等于（ ）
A． B. C. D. 80
6.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则处的条件可为（ ）
A． B． C. D．
8.函数的图象大致为（ ）
A． B． C. D．
9.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则等于（ ）
A． B． C. 2 D．1
10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C. D．
11.若实数，满足约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，，则函数当且仅当在点处取得最大值的概率为（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数，若，且，对任意的恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.
13.若，则= ．
14.设，则的展开式中常数项是 ．
15.正三棱柱底面的边长为3，此三棱柱的外接球的半径为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
16.已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，其中为锐角，，，且，求的面积.
18.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分为五个级别，畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.早高峰时段（），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.
（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.
19. 如图，四边形中，为正三角形，，，与中心点，将沿边折起，使点至点，已知与平面所成的角为.
（1）求证：平面平面；
（2）求已知二面角的余弦值.
20. 设椭圆的左、右焦点分别为 ，，点在椭圆上，且满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线：与椭圆交于，两点，且，是否存在圆使得恰好是该圆的切线，若存在，求出；若不存在，说明理由.
21. 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，.
请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中曲线经伸缩变换后得到曲线，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的参数方程和的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的一点，又向曲线引切线，切点为，求的最大值.
23.选修4—5：不等式选讲
已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若，，求的最大值.
河北武邑中学2016-2017学年高三年级下学期期中考试
数学试题（理科）（答案）
一、选择题：
1-5:BDACB 6-10:ADCBB 11、12：AB
二、填空题
13.9 14.-160 15. 16.
三、解答题
17.解：（1），
，
，
由，
函数的单调递增区间为.
（2），
因为，，所以.，，
又，则，
从而.
18.解：（1），这50路段为中度拥堵的有18个.
（2）设事件“一个路段严重拥堵”，则，
事件至少一个路段严重拥堵，则.
，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271.
（3）由频率分布直方图可得：分布列如下表：
30
36
42
60
0.1
0.44
0.36
0.1
.
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.
19.解：（1）易知为的中点，则，
又平面，所以平面，
平面，平面平面.
（2）过作的垂线，垂足为，则垂直平面，，
以为后，为轴，过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
易知平面的法向量为，
，，
设平面的法向量为，
则由得，取，
，
二面角的余弦值为.
20.解：（1），
，
在椭圆上，
，解得，
，解得，，
椭圆.
（2）设，，
将：代入，整理得：，
，
，
且，，
，
，
，即，，
由和，得即可.
与圆相切，，
存在圆符合题意.
21.解：（1）因为，所以.得，所以，得，
得，.当时，，为增函数；当时，，为减函数.
所以函数仅当时，取得极值.又函数在区间上存在极值，所以，所以，故实数的取值范围是.
（2）当时，，即为.令，则，再令，则.又因为，所以.所以在上是增函数.又因为，所以当时，，所以在区间上是增函数.
所以当时，，故.
令，则.因为，所以.当时，.故函数在区间上是家函数，又，所以当时，，即得，即.
22.解：（1）将代入得，所以的参数方程为（为参数）.
由得，的直角坐标方程为.
（2）表示以为圆心，以1为半径的圆，.
设，
则
.
，.
根据题意可得.
23.解：（1）由于，
所以.
（2）由已知，有，
因为（当取等号），（当取等号），
所以，即，故.