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- 2024-03-29 发布
2016-2017学年湖南省长沙市浏阳一中高二（上）第一次段考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于（ ）
A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+1
2．数列{an}满足an=4an﹣1+3，a2=3，则此数列的第5项是（ ）
A．15 B．255 C．20 D．8
3．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3为（ ）
A．4 B． C． D．2
4．与a＞b等价的不等式是（ ）
A． B．|a|＞|b| C． D．2a＞2b
5．已知a=，b=，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
6．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是（ ）
A．a﹣c＜b﹣d B．ac＞bd C． D．ad＞bc
7．等差数列{an}中，已知a1=﹣6，an=0，公差d∈N*，则n（n≥3）的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．8
8．设An和Bn是等差数列{an}和{bn}的前n项和，若，则=（ ）
A． B． C． D．1
9．数列1，2，3，4…前n项的和为（ ）
A． + B．﹣ ++1
C．﹣ + D．﹣ +
10．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各数中可以用这个常数表示的是（ ）
A．S10 B．S11 C．S12 D．S13
11．若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．在△ABC中，a=2，A=30°，C=45°，那么ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13．首项为﹣24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是 ．
14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=10，S20=30，则S30= ．
15．等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a2•an﹣1=2（n≥2），则当n≥2时，log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an= ．
16．已知三个不等式：①ab＜0；②；③bc＜ad，以其中两个为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个正确的命题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．
18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，c=5，求b．
19．（12分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．
20．（12分）已知{an}是等比数列，a1=2，a4=54；{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设Un=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，其中n=1，2，…，求U10的值．
21．（12分）已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=（3n﹣1）（n∈N*），等差数列{bn}中，bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和Tn．
2016-2017学年湖南省长沙市浏阳一中高二（上）第一次段考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于（ ）
A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+1
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】研究数列中各项的数与项数的关系，利用归纳法得出结论，再根据所得的结论比对四个选项，选出正确答案．
【解答】解：∵3=21+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，…
∴an=2n+1
故选B
【点评】本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是研究项与序号的对应关系，由归纳推理得出结论．
2．数列{an}满足an=4an﹣1+3，a2=3，则此数列的第5项是（ ）
A．15 B．255 C．20 D．8
【考点】数列递推式．
【分析】由已知数列递推式构造等比数列{an+1}，求其通项公式后可得数列{an}的通项公式，则答案可求．
【解答】解：由an=4an﹣1+3，得an+1=4（an﹣1+1），
又a2=3，∴a1=0，则a1+1=1，
∴数列{an+1}是以1为首项，以4为公比的等比数列，
∴，则，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．
3．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3为（ ）
A．4 B． C． D．2
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知得a3===4．
【解答】解：∵a3=a1q2，a6=a1q5，a9=a1q8，
∴a3a9=（a6）2，
a3===4．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列中的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
4．与a＞b等价的不等式是（ ）
A． B．|a|＞|b| C． D．2a＞2b
【考点】不等式的基本性质．
【分析】利用指数函数的单调性、不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵a＞b，∴2a＞2b，
∴a＞b等价的不等式是2a＞2b，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知a=，b=，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由等差中项的性质可知a，b的等差中项为，代入即可求解
【解答】解：由等差中项的性质可知a，b的等差中项为=
==
故选A
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于对基本概念的考查
6．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是（ ）
A．a﹣c＜b﹣d B．ac＞bd C． D．ad＞bc
【考点】不等式比较大小．
【分析】根据不等式的基本性质，在所给的两个不等式两边同乘以﹣1，得到两个大于零的不等式，同向不等式相乘得到结论．
【解答】解：∵a＜b＜0，c＜d＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，
∴ac＞bd
故选B．
【点评】本题考查不等式的基本性质，不等式比较大小，本题解题的关键是抓住不等式的基本性质，注意在不等式两边同加或同乘或同除以一个数字，注意数字的符号．
7．等差数列{an}中，已知a1=﹣6，an=0，公差d∈N*，则n（n≥3）的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．8
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由an =0=﹣6+（n﹣1）d，d∈N*，可得当d=1时，n取得最大值为7．
【解答】解：∵等差数列{an}中，已知a1=﹣6，an=0，公差d∈N*，则n（n≥
3），∴an =0=﹣6+（n﹣1）d，
要使n最大，只要公差d最小，故d=1，此时n取最大为7，
故选A．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
8．设An和Bn是等差数列{an}和{bn}的前n项和，若，则=（ ）
A． B． C． D．1
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列性质得==，由此能求出结果．
【解答】解：∵An和Bn是等差数列{an}和{bn}的前n项和，若，
∴===．
故选：A．
【点评】本题考查一个等差数列的前9项和与另一个等差数列的前13项和的比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
9．数列1，2，3，4…前n项的和为（ ）
A． + B．﹣ ++1
C．﹣ + D．﹣ +
【考点】数列的求和．
【分析】利用分组求和法求解．
【解答】解：数列1，2，2，4…前n项的和：
S=（1+2+3+4+…+n）+（）
=
=﹣++1．
故选：B．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
10．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各数中可以用这个常数表示的是（ ）
A．S10 B．S11 C．S12 D．S13
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的通项公式化简已知的式子，得到a6为一个确定的常数，然后利用等差数列的前n项和公式表示出S15，利用等差数列的性质变形后，变为关于a8的式子，也是一个确定的常数，得到正确的选项．
【解答】解：由a2+a6+a10=a1+d+a1+5d+a1+9d=3（a1+5d）=3a6
=为一确定的常数，从而=11a6为确定的常数，
故选B．
【点评】此题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，等差数列的性质．熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
11．若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：∵a＞b＞0，
故a﹣b＞0，1+＞0，
故（a﹣b）（1+）＞0，
故a﹣b+＞0，
故a﹣b＞，
故a﹣b＞﹣，
故a+＞b+，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，是一道基础题．
12．在△ABC中，a=2，A=30°，C=45°，那么ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理可得，可得，可求c，由A，B求解C，代入三角形的面积公可求三角形的面积
【解答】解：由正弦定理可得，
∴==
∵A=30°，C=45°
∴B=105°
∴===
故选：B
【点评】本题主要考查了正弦定理求解三角形，三角形的面积公式解三角形，属于公式的综合应用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13．首项为﹣24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式求出第10项和第9项，据题意知底10项大于0，第9项小于等于0，列出不等式解得．
【解答】解：设公差为d则
a10=﹣24+9d＞0，a9=﹣24+8d≤0
解得
故答案为
【点评】本题考查等差数列的通项公式、利用通项公式求特殊项、解不等式．
14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=10，S20=30，则S30= 70 ．
【考点】等比数列的性质．
【分析】由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2=S10•（S30﹣S20），代入可求
【解答】解：由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列
∴（S20﹣S10）2=S10•（S30﹣S20）
∴400=10（S30﹣30）
∴S30=70
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质（若Sn为等比数列的前n项和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不为0，则其成等比数列）的应用．
15．等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a2•an﹣1=2（n≥2），则当n≥2时，log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an= ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】n为奇数时，log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an=；当n为偶数时，log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an+1=log2[（a1an）×（a2an﹣1）×（a3an﹣2）×…×（）]，由此能求出结果．
【解答】解：∵等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，…，且a2•an﹣1=2（n≥2），
∴当n≥2时，
n为奇数时，
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an
=
=+
=+．
当n为偶数时，
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an+1
=log2[（a1an）×（a2an﹣1）×（a3an﹣2）×…×（）]
==．
故答案为：．
【点评】本题考查对数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
16．已知三个不等式：①ab＜0；②；③bc＜ad，以其中两个为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 3 个正确的命题．
【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．
【分析】结合不等式的基本性质，逐一分析以其中两个为条件，余下的一个作为结论，构造的命题的真假，可得答案．
【解答】解：当①ab＜0；②时，
②两边同乘﹣ab得：bc＜ad，
即①②⇒③正确；
当①ab＜0；③bc＜ad，时，
③两边同除以﹣ab得：，
即①③⇒②正确；
当②；③bc＜ad时，ab＜0，
即②③⇒①正确；
故正确的命题有3个，
故答案为：3．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度中档．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2016秋•浏阳市校级月考）已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意可设：设此四个数分别为：a﹣3d，a﹣d，a+d，a+3d．可得：a﹣3d+a﹣d+a+d+a+3d=20，（a﹣d）（a+d）=24．解出即可得出．
【解答】解：设此四个数分别为：a﹣3d，a﹣d，a+d，a+3d．
由题意可得：a﹣3d+a﹣d+a+d+a+3d=20，（a﹣d）（a+d）=24．
解得a=5，d=±1．
∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，c=5，求b．
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．
【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．
（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，
由△ABC为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．
所以，．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式．
19．（12分）（2008•海珠区一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．
【考点】解三角形的实际应用；正弦定理．
【分析】先根据三角形内角和为180°得∠
CBD=180°﹣75°﹣60°=45°，再根据正弦定理求得BC，进而在Rt△ABC中，根据AB=BCtan∠ACB求得AB．
【解答】解：在△BCD中，∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°（2分）
由正弦定理得
所以． （8分）
在Rt△ABC中，． （12分）
【点评】本题以实际问题为载体，主要考查了解三角形的实际应用．正弦定理、余弦定理是解三角形问题常用方法，应熟练记忆．
20．（12分）（2016秋•浏阳市校级月考）已知{an}是等比数列，a1=2，a4=54；{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设Un=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，其中n=1，2，…，求U10的值．
【考点】等比数列的前n项和；数列递推式．
【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程进行求解即可．
（2）根据等差数列的前n项和公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵{an}是等比数列，a1=2，a4=54，
∴a4=2q3=54，即q3=27，则q=3，
则 ，
∵{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3．
∴4b1+d=2+6+18=26，
即6d=26﹣8=18，得d=3，
则bn=b1+（n﹣1）d=3n﹣1．
（2）b1，b4，b7，…，b3n﹣2组成以3d为公差的等差数列，
则．
【点评】本题主要考查数列通项公式的计算以及前n项和公式的应用，建立方程组是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
21．（12分）（2005•福建）已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】（1）由题意可知2a3=a1+a2，根据等比数列通项公式代入a1和q，进而可求得q．
（II）讨论当q=1和q=﹣，时分别求得Sn和bn，进而根据Sn﹣bn与0的关系判断Sn与bn的大小，
【解答】解：（1）由题意可知，2a3=a1+a2，即a（2q2﹣q﹣1）=0，∴q=1或q=﹣；
（II）q=1时，Sn=2n+=，∵n≥2，∴Sn﹣bn=Sn﹣1=＞0
当n≥2时，Sn＞bn．
若q=﹣，则Sn=，同理Sn﹣bn=．
∴2≤n≤9时，Sn＞bn，n=10时，Sn=bn，n≥11时，Sn＜bn．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
22．（12分）（2015春•赫章县校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=（3n﹣1）（n∈N*），等差数列{bn}中，bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和Tn．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（1）利用an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1，n＞1，即可得到an．再利用等比数列、等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（1）a1=1，an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1，n＞1，
∴an=3n﹣1（n∈N*），
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a1=1，a2=3，a3=9，
在等差数列{bn}中，
∵b1+b2+b3=15，∴b2=5．
又因a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
设等差数列{bn}的公差为d，
∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64，解得d=﹣10或d=2，
∵bn＞0（n∈N*），
∴舍去d=﹣10，取d=2，∴b1=3．
∴bn=2n+1（n∈N*）．
（2）由（1）知
∴Tn=a1+b1+a2+b2+…+an+bn
=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
==．
【点评】熟练掌握等比数列、等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式是解题的关键．