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- 2024-03-24 发布
赤峰二中 2016 级高二年下学期 4 月月考
文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的．
1．已知复数 z＝ 10
3＋i
－2i (其中 i 为虚数单位)，则|z|＝
A．3 3 B．3 2 C．2 3 D．2 2
2．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则 A∩B 的子集的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
3.为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机
抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直
线方程为 ˆˆ ˆy bx a ．已知
10
1
225i
i
x
，
10
1
1600i
i
y
， ˆ 4b ．该班某学生的脚长为 24，
据此估计其身高为
A 160 B 163 C 166 D 170 [
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石
5. 某 校 从 高 一 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 , 将 他 们 的 模 块 测 试 成 绩 分 成 6 组 ：
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．已
知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( )．
A．588 B．480 C．450 D．120
6．已知 1 是 lga 与 lgb 的等比中项，若 a＞1，b＞1，则 ab 有（ ）
A．最小值 10 B．最大值 100 C．最大值 10 D．最小值 100
7.设函数 f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ） 的最小正周期为π，且
f（﹣x）=f（x），则
A . f（x）在 单调递减 B. f（x）在（ ， ）单调递减
C. f（x）在（0， ）单调递增 D .f（x）在（ ， ）单调递增
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执
行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 72，27，则输出的 a
A．18 B．9 C．6 D．3
9. 有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2
支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A
4
5 B
3
5 C
2
5 D
1
5
10 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正
视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（）
A 1 B 8 C 4 D 2
11. 抛物线 xy 122 的焦点为 F，抛物线的弦 AB 经过焦点 F，以 AB 为直径的圆与直线
)0( ttx 相切于 )6,( tM ，则线段 AB 的长为（ ）
A.12 B. 18 C. 16 D. 24
12．已知曲线 C1：y=ex 上一点 A（x1，y1），曲线 C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点 B（x2，
y2），当 y1=y2 时，对于任意 x1，x2，都有|AB|≥e 恒成立，则 m 的最小值为（ ）
A．1 B． C．e﹣1 D．e+1
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知实数 x，y 满足 则 z=2x+y 的最大值是 ．
14 如图，在边长为 1 的正方形中，随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计
阴影部分的面积为___________.
15．设双曲线
2 2
2 2 1 0 0x y a ,ba b
的左、右顶点分别为 A , B ，点 P 在双曲线上且异于 A , B
两点， O 为坐标原点．若直线 PA 与 PB 的斜率之积为 7
9
，则双曲线的离心率为________．
16,已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， ( ) xf x xe ，给出下列命题：
① 当 0x 时， ( ) xf x xe ；
② 函数 ( )f x 的单调递减区间是 ( , 1),(1, ) ；
③ 对 1 2,x x R ，都有 1 2
2| ( ) ( ) |f x f x e
.
其中正确的命题是 （只填序号）
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 （本小题满分 12 分）
记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知， 24122 aa . 12111 S
(1)求 na 的通项公式；(2)令
21
1
nn
n aab ， nn bbbT ......21 ，若 024 mTn 对
一切 Nn 成立，求实数 m 的最大值.
18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，
∠DAB=60°，AB=2AD，M 为 AB 的中点，△PAD 为等边
三角形，且平面 PAD⊥平 ABCD.
(1)证明：PM⊥BC；
(2)若 PD=1，求点 D 到平面 PAB 的距离.
19．（本小题满分 12 分）
随着资本市场的强势进入，互联共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小
巷.为了解共享单车在 A 市的使用情况，某调查机构借助络进行了问卷调查，并从参与调查
的友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
经常使用 偶尔或不用 合计
30 岁及以下 70 30 100
30 岁以上 60 40 100
合计 130 70 200
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用共享单车情
况与年龄有关？
（2）现从所抽取的 30 岁以上的友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人.
（i）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；
（ii）从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共
享单车的概率.
参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
参考数据：
2
0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
20.（本小题满分 12 分）
椭圆 )0(1: 2
2
2
2
ba
b
y
a
xC 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2 ，且与椭圆
12
2
2 yx 有相同离心率．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线 mkxyl : 与椭圆C 交于不同的 BA, 两点，且椭圆C 上存在点Q ，满足
OQOBOA ，（O 为坐标原点），求实数 取值范围．
21 （本小题满分 12 分）
已知函数 2 2( ) ln , ( ) 3f x x x ax g x x bx
（1）若函数 ( )f x 在 (1, (1))f 处的切线与直线 2 1 0x y 垂直，求实数 a 的值；
（2）当 0a 时，若关于 x 的方程 ( ) 2 ( )xg x f x 在区间 1( ,2)2
内有两个不相等的实根，
求实数 b 的取值范围（已知 ln2 0.69 ）
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做
的第一个题目计分．
22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝2＋2cosα，
y＝2sinα
(α为参数)，曲线 C2 的参
数方程为 x＝2cosβ，
y＝2＋2sinβ
(β为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程；
(2)已知射线 l1：θ＝α(0<α<π
2)，将射线 l1 顺时针旋转π
6
得到射线 l2：θ＝α－π
6
，且射线 l1
与曲线 C1 交于 O，P 两点，射线 l2 与曲线 C2 交于 O，Q 两点，求|OP|·|OQ|的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲
已知函数 2( ) | 2 |f x x a .
（Ⅰ）若 3| |(0) (1) af f a
，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）对任意| | 1 ( ) 1x f x≤ ， ≤ 恒成立，求实数 a 的值.
赤峰二中 2016 级高二下学期第一次月考
文科数学答案
选择题 1---12 BACBB DABCD DC
13【答案】 10 14【答案】
15. 16 答案. 2,3
17. （12 分）解：(1)∵等差数列 中， ， .
∴ ，解得 . ……………………………2 分
，……………………………3 分
. ……………………………5 分
(2) ……………………………7 分
，………9 分
是递增数列， ，
，
∴实数 的最大值为 .……………………………12 分
19 试题解析：
（1）由列联表可知，
.因为 ， 3 分
所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关. 4 分
（2）（i）依题意可知，所抽取的 5 名 30 岁以上的友中，经常使用共享单车的有
（人），偶尔或不用共享单车的有 （人）. 7 分
（ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 ， ， ；偶尔或不用共享单车的 2
人分别为 ， .则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为 ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共 10 种. 9 分
其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为 共 1 种，
故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 . 12 分
20.解：（1）由已知可 解得 ． ………………………3 分
所求椭圆 的方程 ． …………………………4 分
（2）建立方程组
消去 ，整理得 ．
．
由于直线直线 与椭圆 交于不同的 两点，
，有 ．① ………………………………6 分
设 ,于是 ，
． ………………………8 分
当 时，易知点 关于原点对称，则 ；
当 时，易知点 不关于原点对称，则 ．
此时，
由 ，得 即
点在椭圆上，∴ ．
化简得 ． ．②
由①②两式可得 ．
综上可得实数 的取值范围是 ． ………………………12 分
21、 ---------------2 分
所 在点 处的切线斜率 ----------------4 分
----5 分
（2）由 得
因为 ，整理得： -----------------7 分
--8 分所以
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递减，
所以在区间 内 -------------10 分
，所以
所以 ----------------------------12 分
注，结果写成 也正确
22．(1)曲线 C1 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4 1 分
所以 C1 的极坐标方程为ρ＝4cosθ 2 分
曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4， 3 分
所以 C2 的极坐标方程为ρ＝4sinθ. 4 分
(2)设点 P 的极坐标为(ρ1，α)， 5 分
即ρ1＝4cosα，点 Q 的极坐标为(ρ2，(α－
π
6 ))，即ρ2＝4sin(α－
π
6 )， 6 分
则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin(α－
π
6 )＝16cosα·(
3
2sinα－
1
2cosα)
＝8sin(2α－
π
6 )－4.∵α∈(0，
π
2 )， 8 分
∴2α－
π
6 ∈(－
π
6 ，
5π
6 )．当 2α－
π
6 ＝
π
2 ，即α＝
π
3 时，|OP|·|OQ|取最大值 4. 10
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
解析：（Ⅰ）当 时， 可转化为 ，该不等式恒成立；
当 时， 可转化为 .
综上可得，实数 的取值范围是
…5 分
（Ⅱ）对任意 恒成立，可得 ，即 ，①
又 ，即 ，② 由①②可知 .验证 时 恒成
立.
…10 分