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- 2024-03-24 发布
宜昌市第一中学高二 12 月月考文科数学试卷
祝考试顺利
时间：120 分钟 分值：150 分
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项符合题目要求.）
1．下列命题中假命题是（ ）
.A 0lg, xRx 3cossin,. xxRxB
xxRxC 21,. 2 02,. xRxD
2．双曲线
2 2
116 25
x y 的渐近线方程为（ ）
.A 5
4y x 5. 4B x y 5. 4C y x 4. 5D y x
3．已知命题 21: xP ,命题 :q 265 xx ，则 P 是 q 的（ ）
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
4．若程序框图如左下图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是（ ）
.A 4 .B 5 .C 6 .D 7
5．如右上图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数
为（ ）
.A 2 .B 3 .C 4 .D 5
6．椭圆 1316
22
yx 的左右焦点分别为 21,FF ，一条直线经过 1F 与椭圆交于 BA, 两点，则
2ABF 的周长为（ ）
.A 32 16.B 8.C 4.D
7．登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(℃)之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气
温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
山高(km) 24 34 38 64
由表中数据，得到线性回归方程y
^
＝－2x＋a
^
(a
^
∈R)．由此请估计山高为 72 km 处气温的度数
为（ ）
.A －10 .B －8 .C －4 .D －6
8．双曲线 125
22
yx 与椭圆 )0(19
2
2
2
ay
a
x 有相同的焦点，则 a 的值为（ ）
.A 2 10.B 4.C 34.D
9．已知圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：
x＋y－7≤0，
x－y＋3≥0，
y≥0.
若圆心 C∈Ω，且圆 C 与
x 轴相切，则 a2＋b2 的最大值为（ ）
.A 5 .B 29 .C 37 .D 49
10．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,M N 分别是 1 1,BC CD
的中点，则下列判断错误的是 （ ）
.A MN 与 1CC 垂直 .B MN 与 1 1A B 平行
.C MN 与 BD平行 .D MN 与 AC 垂直
11．设双曲线
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
的半焦距为 c，直线 l 过 ( ,0),(0, )a b 两点，已知原点
到直线 l 的距离为 3
4
c ，则此双曲线的离心率为（ ）
.A 2 .B 4 或 4
3 .C 2 3
3
.D 2 或 2 3
3
12．给出下列四个结论：
①命题“若 m＞0，则方程 x2＋x－m＝0 有实数根”的逆否命题为“若方程 x2＋x－m＝0 无实根，
则 m≤0”；
②若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题；
③若命题 p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0，则 p ：∀x∈R，x2＋x＋1≥0；
④“a＞2”是“函数 f(x)＝x2－ax－2 在 x∈(－∞，1]上单调递减”的充分不必要条件．
其中正确结论的个数为（ ）
.A 0 .B 1 .C 2 .D 3
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸上.）
13．在区间[ 1,2] 上任取一个数 x ，则事件“ 1 0x ”发生的概率为 ；
14．已知直线 .022)1(:,01: 21 ayxalayxl 时当 21 ll ，则 a = ；
15．某单位 200 名职工的年龄分布情况如左下图，现要用系统抽样法从中抽取 40 名职工作
样本，将全体职工随机按 1～200 编号，并按编号顺序平均分成 40 组 (1～5 号，6～10 号，…，
196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是__________；若用分层
抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取__________人；
16．点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个命题：
①三棱锥 AD1PC 的体积不变；
②A1P∥平面 ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面 PDB1⊥平面 ACD1.
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17． (本小题满分 12 分）
在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 13, 4, 5, 4AC BC AB AA ，
点 D 是 AB 的中点.
(1)求证： 1AC BC ；(2)求证： 1 / /AC 平面 1CDB ．
18． (本小题满分 12 分）
随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除了传统的打电话外，手机的功
能越来越强大，人们可以玩游戏、看小说、观电影、逛商城等等，真是“一机在手，天下我
有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生
活，一媒体为调查市民对“低头族”认识，从某社区的 500 名市民中，随机抽取 100 名市民，
按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下：
(Ⅰ)频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图
统计这 500 名志愿者的平均年龄；
（Ⅱ）在抽出的 100 名市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名接受采访，再从这 20 名
中选取 2 名担任主要发言人．若这两人从不小于35 岁的人中选取，问恰有一人年龄在
40,45 岁的概率．
19．（本小题满分 12 分）
已知矩形 ABCD 的对角线交于点 2,0P ，边 AB 所在直线的方程为 3 6 0x y ，
点 1,1 在边 AD 所在的直线上．
（1）求矩形 ABCD 的外接圆的方程；
（2）已知直线 : 1 2 1 5 4 0l k x k y k k R ，求出直线l 恒过定点的坐标，
并求过该点矩形 ABCD 的外接圆的最短弦所在直线l 的方程．
20．（本小题满分 12 分）
如图，三棱锥 P ABC 中，BC 平面 PAB ，PA PB AB BC 6 ，点 M ，N 分别
为 ,PB BC 的中点．
（I）求证： AM 平面 PBC ；
（Ⅱ） E 是线段 AC 上的点，且 AM 平面 PNE ．
①确定点 E 的位置；②求直线 PE 与平面 PAB 所成角的正切值．
21．如图，已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为 3
2
，以椭圆的左顶点 T 为圆心作圆 T：
(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M，N．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求TM TN 的最小值，并求此时圆 T 的方程；
(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，
O 为坐标原点．试问：是否存在使 S△POS·S△POR 最大的点 P，若存在，求出点 P 的坐标；若
不存在，说明理由．
22． (本小题满分 10 分）
设 p ： 2 5 4 0x x ； q ： 2 6 0x x ，若“ p q ”为真，求实数 x 的取值范围．
宜昌市第一中学高二 12 月月考文科数学试题答案
一、选择题
BABBC BDCCB CD
二、填空题
13. 1
3 ；
14. 11 2
或
；
15. 37、20；16．①②④
三、解答题
17.略
18. 解答：（1 ）①：35；②：0.30；平均年龄 33.5 岁。
（2）在第四组 35,40 中选取 6 人，在第五组 40,45 中选取 2 人，概率 P= 3
7
19. 解答：（1）直线 AD 的方程为：3 2 0x y
联立 AB 和 AD 的方程，得 A 的坐标（0，2），点 A 与 P 的距离为 2 2 ，所以 ABCD 外接
圆方程为： 2 2( 2) 8x y
（2）直线 : 1 2 1 5 4 0l k x k y k k R 经过定点（3,2），弦长最短时的直线l
的方程为： 2 7 0x y ．
20.
②作 EH AB 于 H ，则 EH / /BC ，∴ EH 平面 PAB ，∴ EPH 是直线 PE 与平面 PAB
所成的角.∵ 1AH AB 23
， π6 = 3PA PAH ，
∴ 2 2PH 6 2 2 6 2 cos 2 73
，又 1EH BC 23
，
∴ EH 7tan EPH PH 7
，即直线 PE 与平面 PAB 所成角的正切值为 7
7
.
21. 解答：(1)由题意知
c
a
＝ 3
2
，
a＝2，
解之，得 a＝2，c＝ 3，
由 c2＝a2－b2，得 b＝1，故椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 M(x1，y1)，N(x1，－y1)，
不妨设 y1>0，由于点 M 在椭圆 C 上，
∴y21＝1－x21
4
，
由已知 T(－2,0)，则TM
＝(x1＋2，y1)，TN
＝(x1＋2，－y1)，
∴TM TN ＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21＝(x1＋2)2－ 1－x21
4 ＝5
4
x1＋8
5 2－1
5.
由于－2