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- 2024-03-22 发布
2017-2018学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（理科）（A卷）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．＜ B．+a＞+b C．ac2＞bc2 D．a2+b2≥2ab
2．（5分）不等式（x+）（2﹣3x）≤0的解集为（ ）
A．{x|x≥或x≤﹣} B．{x|﹣≤x≤} C．{x|x＞或x＜﹣} D．{x|﹣＜x＜}
3．（5分）等差数列{an}中，a2+a4+a9+a11=36，则a5+a8的值为（ ）
A．12 B．18 C．9 D．20
4．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形△ABC的面积，且满足S=（a2+c2﹣b2），则∠B=（ ）
A． B． C．或 D．
5．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1，bn=an+2n﹣1，则数列{bn}的前n项和为（ ）
A．2n﹣1+n2﹣1 B．2n﹣1+2n2﹣1 C．2n+n2﹣1 D．2n﹣1+n2+1
6．（5分）不等式（x﹣）≥0的解集为（ ）
A．[，+∞） B．[，2] C．[3，+∞） D．[，2]∪[3，+∞）
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=，b=，∠A=30°，则c等于（ ）
A．2 B． C．2或 D．以上都不对
8．（5分）在数列{an}中，a1=2，an=2n•an﹣1（n≥2），则an=（ ）
A．2 B．2n+1﹣2 C．2 D．2n
9．（5分）在60米高的山顶上，测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°，则河流的宽度为（ ）
A．240米 B．120（）米 C．180（﹣1）米 D．30（+1）米
10．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（ ）
A．2 B．1 C． D．﹣2
11．（5分）设x∈R，对于使2x﹣x2≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做2x﹣x2的上确界．若a，b∈R*，且a+b=1．则﹣﹣的上确界为（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．
12．（5分）在△ABC中，有正弦定理：=定值，这个定值就是△ABC的外接圆的直径．如图2所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ，那么（ ）
A．λ先变小再变大
B．仅当M为线段EF的中点时，λ取得最大值
C．λ是一个定值
D．λ先变大再变小
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知数列{an}，{bn}，an=，bn=an•an+1，则b1+b2+…+b17= ．
14．（5分）已知关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2
，求实数k的取值范围 ．
15．（5分）《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为 磅．
16．（5分）如图，在△ABC中，线段AB上的点D满足AB=3AD=3AC，CB=3CD，则= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，AB=6，B=，D是BC边上一点，且AD=3．
（Ⅰ）求角∠ADC的大小；
（Ⅱ）若CD=2，求AC的长及△ACD的面积．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1+a2=16，S5=40．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=|13﹣an|，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，不等式对一切实数x恒成立．
（1）求cosC的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为9时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状．
20．（12分）已知关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集为{x|n＜x＜3}．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）当a＜1时，解关于x的不等式ax2﹣2（a+n）x+m＞0．
21．（12分）某数学建模兴趣小组测量某移动信号塔AE的高度H（单位：m），如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（Ⅰ）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请推测H的值；
（Ⅱ）该小组对测得的多组数据分析后，发现适当调整标杆到信号塔的距离d（单位：m），使α﹣β较大时，可以提高信号塔测量精确度．若信号塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？
22．（12分）已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn=﹣2log2an﹣2，（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，不等式Tn≥λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范围．
2017-2018学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（理科）（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．＜ B．+a＞+b C．ac2＞bc2 D．a2+b2≥2ab
【分析】举出反例a=1，b=﹣1，可判断A，B；举出反例c=0，可判断C；根据完全平方公式及不等式的基本性质，可判断判断D；
【解答】解：当a=1，b=﹣1时，＜不成立，故A不成立；
当a=1，b=﹣1时，+a＞+b不成立，故B 不成立；
当c=0时，ac2＞bc2不成立，故C不成立；
a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0恒成立，故a2+b2≥2ab，故D成立，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．
2．（5分）不等式（x+）（2﹣3x）≤0的解集为（ ）
A．{x|x≥或x≤﹣} B．{x|﹣≤x≤} C．{x|x＞或x＜﹣} D．{x|﹣＜x＜}
【分析】根据题意，将原不等式变形可得（x+）（3x﹣2）≥0，由一元二次不等式的解法计算可得答案．
【解答】解：根据题意，（x+）（2﹣3x）≤0⇒（x+）（3x﹣2）≥0，
解可得x≥或x≤﹣；
即不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}；
故选：A．
【点评】本题考查不等式的解法，注意将原不等式变形．
3．（5分）等差数列{an}中，a2+a4+a9+a11=36，则a5+a8的值为（ ）
A．12 B．18 C．9 D．20
【分析】由等差数列的性质可得a5+a8=a2+a11=a4+a9，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：等差数列{an}中，a2+a4+a9+a11=36，
由a5+a8=a2+a11=a4+a9，
可得2（a5+a8）=36，
即有a5+a8=18．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形△ABC的面积，且满足S=（a2+c2﹣b2），则∠B=（ ）
A． B． C．或 D．
【分析】运用三角形面积公式和余弦定理，化简可得sinB﹣cosB=0，即有tanB=，即可得到所求角．
【解答】解：∵S=（a2+c2﹣b2）=acsinB，
∴×2accosB=acsinB，
解得：sinB﹣cosB=0，
可得：tanB==，
∵B∈（0，π），
∴B=，
故选：B．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想，属于中档题．
5．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1，bn=an+2n﹣1，则数列{bn}的前n项和为（ ）
A．2n﹣1+n2﹣1 B．2n﹣1+2n2﹣1 C．2n+n2﹣1 D．2n﹣1+n2+1
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵bn=an+2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和=Sn+1+3+…+（2n﹣1）
=2n﹣1+
=2n﹣1+n2．
故选：C．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）不等式（x﹣）≥0的解集为（ ）
A．[，+∞） B．[，2] C．[3，+∞） D．[，2]∪[3，+∞）
【分析】根据题意，分析可得（x﹣）≥0⇒，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，（x﹣）≥0⇒，
解可得≤x≤2或x≥3，
即不等式的解集为[，2]∪[3，+∞）；
故选：D．
【点评】本题考查其他不等式的解法，注意根式的范围以及对x的取值范围的限制．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=，b=，∠A=30°，则c等于（ ）
A．2 B． C．2或 D．以上都不对
【分析】由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，代入解出即可得出．
【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，a=，b=，∠A=30°，
∴，
化为：c2﹣3c+10=0，
解得c=或2．
故选：C．
【点评】本题考查了解三角形、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）在数列{an}中，a1=2，an=2n•an﹣1（n≥2），则an=（ ）
A．2 B．2n+1﹣2 C．2 D．2n
【分析】根据题意，将an=2n•an﹣1变形可得=2n，由累乘法分析可得an=××…××a1=（2n）×（2n﹣1）×…×22×2，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，若an=2n•an﹣1，即=2n，
则an=××…××a1=（2n）×（2n﹣1）×…×22×2=；
故选：A．
【点评】
本题考查数列的递推公式，涉及数列通项公式的求法，注意用累乘法分析．
9．（5分）在60米高的山顶上，测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°，则河流的宽度为（ ）
A．240米 B．120（）米 C．180（﹣1）米 D．30（+1）米
【分析】利用角的三角函数定义求出CD，BD，从而可得BC．
【解答】解：如图，
过A作CB延长线的高，垂足为D，
由题意可知∠ABD=75°，∠ACB=30°，AD=60，
∴BD==60（2﹣），
CD==60，
∴BC=CD﹣BD=120（﹣1）．
故选：B
【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．
10．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（ ）
A．2 B．1 C． D．﹣2
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，
化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．
由，解得A（m，m），A代入z=x+2y，可得m+2m=2，解得m=．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．（5分）设x∈R，对于使2x﹣x2≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做2x﹣x2的上确界．若a，b∈R*，且a+b=1．则﹣﹣的上确界为（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．
【分析】根据新定义可知“上确界”就是最小值M的意思，利用“乘1法”结合基本不等式即可求解；
【解答】解：a，b∈R*，且a+b=1．
则﹣﹣=（a+b）（﹣﹣）=≤．
∴得M的最小值．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的理解和“乘1法”基本不等式性质的运用．属于基础题．
12．（5分）在△ABC中，有正弦定理：=定值，这个定值就是△ABC的外接圆的直径．如图2所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ，那么（ ）
A．λ先变小再变大
B．仅当M为线段EF的中点时，λ取得最大值
C．λ是一个定值
D．λ先变大再变小
【分析】设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，由题意=λ，由正弦定理得R1=，R2=，结合DE=DF，sin∠DME=sin∠DMF，得λ=1，由此能求出结果．
【解答】解：设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，
由题意=λ，
点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），
对于M的每一个位置，
由正弦定理得R1=，R2=，
又DE=DF，sin∠DME=sin∠DMF，
∴R1=R2，∴λ=1．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角形的外接圆、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知数列{an}，{bn}，an=，bn=an•an+1，则b1+b2+…+b17= ．
【分析】利用数列的通项公式，化简bn=an•an+1，利用裂项相消法求和即可．
【解答】解：数列{an}，{bn}，an=，
bn=an•an+1==，
则b1+b2+…+b17===．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．
14．（5分）已知关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2，求实数k的取值范围 （﹣）∪（1+，+∞） ．
【分析】利用方程的根与函数的零点的关系列出不等式求解即可．
【解答】解：关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1，x2，且x1＜1＜x2，
可得：1+2k﹣k2＜0，即k2﹣2k﹣1＞0，解得k或k．
实数k的取值范围：（﹣）∪（1+，+∞）．
【点评】本题考查零点判定定理的应用，不等式的解法，考查计算能力．
15．（5分）《莱茵德纸草书》Rhind
Papyrus是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为 磅．
【分析】设此等差数列为{an}，公差为d，可得d=10，（a3+a4+a5）×=a1+a2，解出即可得出．
【解答】解：设此等差数列为{an}，公差为d，
则d=10，（a3+a4+a5）×=a1+a2，即=2a1+d．
解得a1=，d=．
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（5分）如图，在△ABC中，线段AB上的点D满足AB=3AD=3AC，CB=3CD，则= ．
【分析】设AC=x，CD=y，则AB=3x，BC=3y；利用余弦定理求出x2、y2的关系，再用二倍角化简，利用正弦、余弦定理即可求出结果．
【解答】解：设AC=AD=x，CD=y，则AB=3x，CB=3y，BD=2x；
∴cosA==，
化简得x2=y2；
∴==2••===，
故答案为：．
【点评】
本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，数形结合思想，是综合题，难度中档．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，AB=6，B=，D是BC边上一点，且AD=3．
（Ⅰ）求角∠ADC的大小；
（Ⅱ）若CD=2，求AC的长及△ACD的面积．
【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由已知利用正弦定理即可计算得解sin∠ADB的值，即可．
（Ⅱ） 在△ACD中，由余弦定理可求AC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中由正弦定理得．
∴，
又∵∠ADB∈（0，π），∴
∵AD＞AB，∴∠B＞∠ADB，
∴.．
（Ⅱ）由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC
∴
△ACD的面积S==9
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1+a2=16，S5=40．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=|13﹣an|，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（II）bn=|13﹣an|=，设数列{an}的前n项和为Sn==﹣n2+10n．对n分类讨论即可得出．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2=16，S5=40．∴2a1+d=16，d=40，
解得a1=9，d=﹣2．
∴an=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．
（2）bn=|13﹣an|=，
设数列{an}的前n项和为Sn==﹣n2+10n．
当n≤5时，Tn=Sn=﹣n2+10n．
当n≥6时，Tn=2S5﹣Sn=50+n2﹣10n．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，不等式对一切实数x恒成立．
（1）求cosC的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为9时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状．
【分析】（1）由已知条件及二次函数的性质得cosC＞0，且2cos2C+3cosC﹣2≥0，由此解得cosC的值．
（2）根据角C的范围可得当∠C取最大值时∠C=，由余弦定理和基本不等式求得ab≤9，从而得到△ABC面积的最大值，根据不等式中等号成立条件判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）当cosC=0时，sinC=1，
原不等式即为对一切实数x不恒成立，
当cosC≠0时，应有，
∴，
解得或cosC≤﹣2（舍去），
∵0＜C＜π，
∴．
（2）∵0＜C＜π，，
∴∠C的最大值为．
此时，
∴，
∴ab≤9（当且仅当a=b时取等号）．
∴（当且仅当a=b时取等号）．
此时，△ABC面积的最大值为，△ABC为等边三角形．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，一元二次不等式的解法，余弦定理、基本不等式的得应用，考查了转化思想，求出角C的最大值是解题的关键，属于中档题．
20．（12分）已知关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集为{x|n＜x＜3}．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）当a＜1时，解关于x的不等式ax2﹣2（a+n）x+m＞0．
【分析】（Ⅰ）根据韦达定理求出n，m的值即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得n，3是方程x2﹣mx+3=0的两个实根，
∴，解得，
故m=4，n=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得不等式ax2﹣2（a+n）x+m＞0可化为：
ax2﹣2（a+1）x+4＞0，即（ax﹣2）（x﹣2）＞0，
①a=0时，不等式的解集是{x|x＜2}，
②a＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣2）＜0，∵＜2，
故不等式的解集是{x|＜x＜2}，
③0＜a＜1时，不等式为（x﹣）（x﹣2）＞0，∵＞2，
故不等式的解集是{x|x＞或x＜2}，
综上，a=0时，不等式的解集是{x|x＜2}，
a＜0时，不等式的解集是{x|＜x＜2}，
0＜a＜1时，不等式的解集是{x|x＞或x＜2}．
【点评】本题考查了解二次不等式问题，考查韦达定理以及分类讨论思想，是一道中档题．
21．（12分）某数学建模兴趣小组测量某移动信号塔AE的高度H（单位：m），如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（Ⅰ）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请推测H的值；
（Ⅱ）该小组对测得的多组数据分析后，发现适当调整标杆到信号塔的距离d（单位：m），使α﹣β较大时，可以提高信号塔测量精确度．若信号塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？
【分析】（Ⅰ）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．
（Ⅱ）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β），再根据均值不等式可知当d=55时，tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．
AD﹣AB=DB，故得﹣=，
得：H===124．
因此，算出的电视塔的高度H是124m．
（Ⅱ）由题设知得tanα=，由AB=AD﹣BD=﹣，
得tanβ=，
tan（α﹣β）==≤
当且仅当d==，即d===55时，取等号，
故当d=55时，tan（α﹣β）最大．
因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d=55时，α﹣β最大．
故所求的d是55m．
【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．
22．（12分）已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn=﹣2log2an﹣2，（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，不等式Tn≥λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（I）数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，利用通项公式即可得出an．代入可得bn=﹣2log2an﹣2．
（II）由（I）可得：cn=an•bn=．利用错位相减法可得Tn．
（III）利用等比数列的求和公式可得数列{an}的前n项和为Sn，代入不等式Tn≥λ+2Sn﹣1，利用数列的单调性即可得出．
【解答】解：（I）数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，∴an==．
∴bn=﹣2log2an﹣2=﹣2×（﹣n﹣1）﹣2=2n；
（II）由（I）可得：cn=an•bn=．
∴Tn=+…+，
∴=+…+（n﹣1）×+n×，
相减可得：=+…+﹣n×=，
可得：Tn=2﹣．
（Ⅲ）数列{an}的前n项和为Sn==，
对任意n∈N*，不等式Tn≥λ+2Sn﹣1恒成立，即2﹣≥+1﹣﹣1，化为：2﹣≥，
令f（n）=，可得f（n+1）﹣f（n）=＜0，∴f（n）关于n单调递减，
∴≥λ，解得λ≤2．
∴λ的取值范围为（﹣∞，2]．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．