- 697.00 KB
- 2024-03-19 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省抚州市临川十中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知命题P：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，则命题P的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∃x∈R，x2+2x+3≥0
C．∃x∈R，x2+2x+3＜0 D．∃x∈R，x2+2x+3≤0
2．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1
3．与向量=（12，5）平行的单位向量为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
5．下列各命题中正确的是（ ）
①若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；
③“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件；
④命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0且n≠0”．
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④
6．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线
7．已知二面角α﹣AB﹣β是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面α、β内，且∠QPB=∠RPB=45°，则∠QPR为（ ）
A．45° B．60° C．120° D．150°
8．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B． C．﹣1 D． +1
11．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（ ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
12．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知双曲线标准方程为： =1（a＞0，b＞0），一条渐近线方程y=3x，则双曲线的离心率是 ．
14．若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
15．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，设点Q是曲线+y2=1上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值为 ．
16．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值．
20．已知向量与．
（Ⅰ）若在方向上的投影为，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量与的夹角为锐角；
命题q：，其中向量， =（）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．
21．如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．
（I）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
22．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，且满足（O为坐标原点），求线段AB长度的取值范围．
2016-2017学年江西省抚州市临川十中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知命题P：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，则命题P的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∃x∈R，x2+2x+3≥0
C．∃x∈R，x2+2x+3＜0 D．∃x∈R，x2+2x+3≤0
【考点】命题的否定．
【分析】据命题否定的规则，对命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”进行否定，注意任意对应的否定词为存在；
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可知：∀x∈R，x2+2x+3≥0的否定为∃x∈R，x2+2x+3＜0
故选C
2．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．
【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，
∴抛物线的焦点坐标为（4，0），
∴抛物线的准线方程为x=﹣4．
故选：A．
3．与向量=（12，5）平行的单位向量为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【考点】用向量证明平行．
【分析】设出与向量=（12，5）平行的单位向量，求出的模，利用，求出．
【解答】解：设与向量=（12，5）平行的单位向量，
所以
=，或
故选C．
4．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由线面的位置关系，即可判断A；由空间直线与直线的位置关系，即可判断B；
运用线面平行的性质定理，即可判断C；由线面平行的性质和直线与直线的位置关系，即可判断D．
【解答】解：对于A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错；
对于B．如果m⊂α，n与α相交，则m，n是相交或异面直线，故B错；
对于C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C对；
对于D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错．
故选C．
5．下列各命题中正确的是（ ）
①若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；
③“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件；
④命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0且n≠0”．
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据复合命题真假关系进行判断，
②根据特称命题的否定是全称命题进行判断，
③根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
④根据否命题的定义进行判断．
【解答】解：①若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题；故①错误，
②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；故②正确，
③由x2﹣3x﹣4=0得x=4或x=﹣1，
则“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分不必要条件；故③正确，
④命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”故④错误，
故正确的是②③，
故选：A
6．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线
【考点】椭圆的定义；平面与圆柱面的截线．
【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，分析轴线与平面的性质，可得答案．
【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，
因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，
分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，
由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；
故选：B．
7．已知二面角α﹣AB﹣β是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面α、β内，且∠QPB=∠RPB=45°，则∠QPR为（ ）
A．45° B．60° C．120° D．150°
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质．
【分析】在正方体中，又底面和侧面所成的直二面为模型，构造出满足条件的几何图形，根据正方体的几何特征，解三角形求出∠QPR可得答案．
【解答】解：以正方体的模型，构造满足条件的几何图形如下图所示
连接QR，由正方体的性质可得△PQR为等边三角形
故∠QPR=60°
故选B
8．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1．设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），由AB方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出：x1+x2=，x1x2=1，由此算出P的坐标为M（，），根据利用点到两点间的距离公式解出k2=2，从而算出x1+x2=4，最后根据抛物线的定义可得弦长|AB|的值．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，
∴2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），
由消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=，x1x2=1，
∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，
∴设P的坐标为（x0，y0），可得y0=（y1+y2），
∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），
∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=k•﹣2k=，
得到y0==，所以x0==，可得P（，）．
∵，∴=，解之得k2=2，
因此x1+x2==4，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故选：C
9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC
∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，
∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°
∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=
∵C1D∥B1A
∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角
由余弦定理可得cos∠AB1C=
故选A
10．已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B． C．﹣1 D． +1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．
【解答】解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．
依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．
由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，
可得：﹣1=．
故选：C．
11．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（ ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】首先将P点固定于一处，设两圆心分别为C1，C2，则r1=1，r2=c且C1，C2为椭圆的焦点，PC1≤PM+MC1，PC2≤PN+NC2，PM+PN=PM+MC1+PN+NC2﹣（MC1+NC2）≥PC1+PC2﹣（MC1+NC2）=8，所以PM+PN的最小值为8．PM+PN=PM+MC1+PN+NC2﹣（MC1+NC2）≤PC1+PC2+（MC1+NC2）=12．所以PM+PN的最大值为12．
【解答】解：首先将P点固定于一处，设两圆心分别为C1，C2，
则r1=1，r2=c且C1，C2为椭圆的焦点，
PC1≤PM+MC1
PC2≤PN+NC2
PM+PN=PM+MC1+PN+NC2﹣（MC1+NC2）≥PC1+PC2﹣（MC1+NC2）
=2a﹣（r1+r2）
=10﹣2=8
所以，PM+PN的最小值为8．
PM+PN=PM+MC1+PN+NC2﹣（MC1+NC2）≤PC1+PC2+（MC1+NC2）
=2a+（r1+r2）
=10+2=12．
所以，PM+PN的最大值为12．
故选C．
12．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由，可得 y2=ax﹣x2＞0，故 0＜x＜a，代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．
【解答】解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），
∵，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．
代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：
△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（ a4﹣4a2b2+4b4 ）=a2（a2﹣2b2）2≥0，
∴对称轴满足 0＜﹣＜a，即 0＜＜a，∴＜1，
＞，又 0＜＜1，∴＜＜1，故选 D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知双曲线标准方程为： =1（a＞0，b＞0），一条渐近线方程y=3x，则双曲线的离心率是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线渐近线的方程进行求解即可．
【解答】解：∵线标准方程为： =1（a＞0，b＞0）的渐近线为为y=±x，
∴=3，
则离心率e====，
故答案为：
14．若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是 （2，+∞） ．
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使ax2+4x+a＞0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．
【解答】解：∵命题“存在x∈R，使ax2+4x+a≤0”的否定是
“任意实数x，使ax2+4x+a＞0”
命题否定是真命题，
∴，
解得：a＞2，
故答案为：（2，+∞）．
15．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，设点Q是曲线+y2=1上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设Q（，sinθ），求出点Q到直线x﹣y+4=0的距离，利用三角函数性质能求出点到直线l的距离的最小值．
【解答】解：∵点Q是曲线+y2=1上的一个动点，
∴设Q（，sinθ），
点Q到直线x﹣y+4=0的距离d==，
∴当sin（）=﹣1时，它到直线l的距离的最小值为．
故答案为：．
16．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为 2 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线渐近线的方程可知， =，离心率e==2，从而利用基本不等式即可求得的最小值．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，
∴=，
又离心率e==2，
∴==+≥2=2，
当且仅当b=3，a=，时，取得最小值2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用不等式的解法、函数的性质分别化简命题p，q．对a分类讨论，利用简易逻辑的判定方法即可得出．
【解答】解：由解得p：﹣3≤x＜1，
由x2+x＜a2﹣a得（x+a）[x﹣（a﹣1）]＜0，
当时，可得q：∅；
当时，可得q：（a﹣1，﹣a）；
当时，可得q：（﹣a，a﹣1）．
由题意得，p是q的一个必要不充分条件，
当时，满足条件；当时，（a﹣1，﹣a）⊊[﹣3，1）得，
当时，（﹣a，a﹣1）⊊[﹣3，1）得．
综上，a∈[﹣1，2]．
18．已知函数
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】（1）要使函数有意义，只需真数大于零，解不等式即可得函数的定义域；
（2）若函数的值域为R，则真数应能取遍一切正数，只需y=x2﹣mx﹣m的判别式不小于零，即可解得m的范围；
（3）函数f（x）在区间上是增函数包含两层含义，y=x2﹣mx﹣m在区间上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，分别利用二次函数的图象和性质和单调性即可解得m的范围
【解答】解：（1）若m=1，则
要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈
∴若m=1，函数f（x）的定义域为．
（2）若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m能取遍一切正实数，
∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）
∴若函数f（x）的值域为R，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）
（3）若函数f（x）在区间上是增函数，
则y=x2﹣mx﹣m在区间上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，
∴≥1﹣，且（1﹣）2﹣m（1﹣）﹣m≥0
即m≥2﹣2且m≤2
∴m∈
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，求出椭圆的几何量，可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线AB、联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，化简整理即可求m的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，
∴c=，a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为=1；
（Ⅱ）直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），代入椭圆方程得
17x2﹣16mx+4m2﹣4=0，
则x1+x2=，x1x2=，①
由OA⊥OB，
知x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+m）（﹣2x2+m）
=5x1x2﹣2m（x1+x2）+m2=0，
将①代入，得5×﹣2m×+m2=0，
∵m＞0，
∴m=2．
20．已知向量与．
（Ⅰ）若在方向上的投影为，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量与的夹角为锐角；
命题q：，其中向量， =（）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．
【考点】向量的投影；复合命题的真假；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（Ⅰ）在方向上的投影的表达式是，由此得出关于λ的方程，解出即可．
（Ⅱ）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则pq中一真一假，分类求解，再合并即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，在方向上的投影=，即=．
所以1﹣2λ=5，∴λ=﹣2．
（Ⅱ）1°，若p为真，则＞0，且，即1﹣2λ＞0，且λ≠﹣2．
2°若p为真，由得λ2﹣cos2α=λ+2sinα，
∴λ2﹣λ=cos2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=﹣（sinα﹣1）2+2．
∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣2≤λ2﹣λ≤2，∴﹣1≤λ≤2．
若p真q假，则∴λ＜﹣1且λ≠﹣2．
若p假q真，则∴≤λ≤2
综上得λ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）∪[，2]．
21．如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．
（I）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）取AC的中点O，连接OD，由已知得AC⊥平面SOD，由此能证明AC⊥SD．
（Ⅱ）由题意知OA=OC=OD，SA=SC=SD，从而SO⊥平面ABCD，连接BO，则∠SBO为直线SB与平面ABCD所成的角，由此能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点O，连接OD，
∵AD=DC，∴AC⊥OD，
又∵SA=SC，∴AC⊥OS，
由OD∩OS=O，得AC⊥平面SOD，
∵SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD．
（Ⅱ）解：由题意知OA=OC=OD，
∵SA=SC=SD，
∴O是点S在平面ABCD上的射影，
故SO⊥平面ABCD，
连接BO，则∠SBO为直线SB与平面ABCD所成的角，
由题意知∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
且AB=AC=2，∴BO=，
在Rt△SBO中，SB==2，
∴cos∠SBO==，
∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为．
22．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，且满足（O为坐标原点），求线段AB长度的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）设出动点N（x，y），A（x0，y0），M（x0，0），由题意求圆C1的方程，结合已知，把A的坐标用N的坐标表示，代入圆的方程求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）假设直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，利用，结合根浴系数的关系得到3m2=8k2+8．再利用弦长公式求得弦AB的长，利用基本不等式及函数的性质求得|AB|的范围；若直线l的斜率不存在，直接求出A，B的坐标得到|AB|的值，则线段AB长度的取值范围可求．
【解答】解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0，y0），
∵AM⊥x轴于点M，∴M（x0，0），
设圆C1 的方程为x2+y2=r2，由题意得，
∴圆C1 的方程为x2+y2=9．
由题意，，得，
∴，即，
将A（）代入x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为；
（Ⅱ）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，
联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．
∴△=64k2﹣8m2+32＞0．
，（*）
∵，∴，则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
化简可得，．
将（*）代入可得3m2=8k2+8．
又∵|AB|=．
将代入，可得=
=．
∴当且仅当，即时等号成立．
又由，∴|AB|．
∴．
（2）若直线l的斜率不存在，则OA所在直线方程为y=x，
联立，解得A（），
同理求得B（），
求得．
综上，得．