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- 2024-03-17 发布
绝密 ★ 启用前 试卷类型A
山东师大附中2015级高三第八次模拟考试
数学（理科）试卷
命题：高三数学备课组
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分．
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，. 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.
3. 已知，那么（ ）
A. B. C. D.
4. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A. B. C. D.
5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 设，则的展开式中的系数是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
8. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象 ( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
9. 在内部有一点，满足，则（ ）
A. B. C. D.
10. 下列命题正确的个数为（ ）
“都有”的否定是“使得”;
“”是“”成立的充分条件;
命题“若，则方程有实数根”的否命题
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【来源：全,品…中&高*考+网】
11. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
12. 设为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
填空题：本题共4小题，每小题5分．
13. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则 ．
14. 在中，的对边满足，，，则=______________.
15. 如果点在平面区域内，点在曲线上，
那么的最小值为_________________ .
16. 已知函数满足，，则的值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 题至第21题为必做题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选做题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. （本小题满分12分）已知递减的等比数列各项均为正数，满足，构成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）如图,在梯形中,∥,,【来源：全,品…中&高*考+网】,平面平面,四边形是矩形,.【来源：全,品…中&高*考+网】
(1)求证:平面；【来源：全,品…中&高*考+网】
(2)求二面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据如表所示：
试销价格（元）
4
5
6
7
9
产品销量（件）
84
83
80
75
68
已知变量具有线性负相关关系，且，，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．
（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数的分布列和数学期望．
20. （本小题满分12分）已知，动点满足，.
（1）求的值，并写出的轨迹曲线的方程；
（2）动直线与曲线交于两点，且，是否存在圆使得直线恰好是该圆的切线，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分12分）已知函数，.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）试讨论函数在区间上最大值；
（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.
选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分.
22. （本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，曲线与曲线交于两点，求的值．
23. （本小题满分10分）已知函数.
（1）若不等式的解集为,求实数的值；
（2）在（1）的条件下,若存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围.
第八次模拟考试理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
D
A
D
D
C
B
B
A
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17、解：（1）由等比数列性质可知，.
由构成等差数列可知，.
联立，解得或.
由等比数列递减可知，于是.
.
（2）由（1）可知，
于是
两式相减有
故
18、（1）在梯形中，
∵，,【来源：全,品…中&高*考+网】
四边形是等腰梯形，
且
又∵ 平面平面，交线为，
平面
（2）由(1)知,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
则,，
在平面中，
设其法向量为，则，
令，则. 故平面的一个法向量为.
在平面中，，
设其法向量为，则，
令，则. 故平面的一个法向量为.
由, 知二面角的余弦值为.
19、解：（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不对，
且，4+5+6+7+a+9=39，a=8，
，b+84+83+80+75+68=480，b=90，
∵，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：；
（2）
4
5
6
7
8
9
90
84
83
80
75
68
90
86
82
78
74
70
“理想数据“的个数取值为：0，1，2，3；
， ，
，．
于是“理想数据“的个数的分布列：
0
1
2
3
数学期望．
20、（1）设，
∵且，∴，
在中，由余弦定理得，
∵，
∴，即，
又，所以的轨迹是椭圆，
且，∴，
∴.
(2) 设，将代入得
，
∵，∴，且，，
.
∵，∴，
即，∴，
由和，得即可，
因为与圆相切，∴，
存在圆符合题意.
21、（1）由，，
由于函数在处的切线与直线平行，
故，解得.
（2），由时，；时，，
所以①当时，在上单调递减，
故在上的最大值为；
②当，在上单调递增，在上单调递减，
故在上的最大值为；
（3）若时，函数恰有两个零点，
则，
可得. 于是.
令，则，于是，
∴，记函数，因，
∴在递增，∵，∴，
又，，故成立.
22、解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（t为参数），
由代入法消去参数t，可得曲线的普通方程为；
曲线的极坐标方程为，
得，即为，
整理可得曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ）将（t为参数），
代入曲线的直角坐标方程得，
利用韦达定理可得，
所以．
23、（1）由可得，
于是，
解得.故，
解得.
（2）由（1）可知，令
则，故恒成立.
故实数的取值范围是.