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- 2024-03-16 发布
山东省邹平双语学校2017—2018第一学期高二第一次月考
数学（理科）试题
一．选择题（共12小题60分）
1. 一个命题的四种形式的命题中真命题的个数可能取值是（ ）
A. 0或2 B. 0或4 C. 2或4 D. 0或2 或4
【答案】D
2. 命题“若a＞b，则ac＞bc”的逆否命题是（ ）
A. 若a＞b，则ac≤bc B. 若ac≤bc，则a≤b
C. 若ac＞bc，则a＞b D. 若a≤b，则ac≤bc
【答案】B
【解析】因为的否定是 ，的否定是 ，所以命题“若，则”的逆否命题是“若，则，故选B.
3. 已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】略
4. 命题“∃x0∈R，”的否定是（ ）
A. ∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0 B. ∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0
C. ∃x0∈R， D. ∃x0∈R，
【答案】A
【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，选A.
5. 已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（ ）
A. 命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3
B. 命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0
C. 命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0
D. 命题p的逆否命题是真命题
【答案】D
【解析】命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0的逆命题为：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，A错误；
命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0的否命题为：若，则 ，B、C错误；命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，则命题p的逆否命题是真命题,选D.
6. 已知p：4+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（ ）
A. p或q为真，非q为假 B. p或q为真，非p为真
C. p且q为假，非p为假 D. p且q为假，p或q为真
【答案】C
【解析】，可得是假命题；，可得命题是真命题；可得：且为假，非为真，所以错误的是，故选C.
7. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A. 甲是乙成立的充分不必要条件
B. 甲是乙成立的必要不充分条件
C. 甲是乙成立的充要条件
D. 甲是乙成立的非充分非必要条件
【答案】B
【解析】试题分析：只有满足|PA|+|PB|是常数且常数大于两定点A,B的距离时，动点轨迹才是椭圆，因此甲是乙成立的必要不充分条件
考点：椭圆定义及充分条件必要条件
8. 已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A. （x≠0） B. （x≠0）
C. （x≠0） D. （x≠0）
【答案】B
【解析】试题分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a=6，c=4
∴b2=20，
∴椭圆的方程是
故选B．
考点：椭圆的定义．
9. 若p∧q是假命题，则（ ）
A. p是真命题，q是假命题 B. p、q均为假命题
C. p、q至少有一个是假命题 D. p、q至少有一个是真命题
【答案】C
【解析】试题分析：当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题 、至少有一个是假命题，可得C正确.
考点： 命题真假的判断.
10. 命题p：若ab=0，则a=0；命题q：3≥3，则（ ）
A. “p或q”为假 B. “p且q”为真
C. p真q假 D. p假q真
【答案】D
【解析】试题分析：命题p：b可能为0，a不为0，可知是假命题．命题q：3=3，可得为真命题．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
解：命题p：b可能为0，a不为0，因此是假命题．
命题q：3=3，因此为真命题，
所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
故选：D．
考点：复合命题的真假．
11. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A. +x2=1 B. +y2=1或x2+=1
C. +y2=1 D. 以上均不正确
【答案】A
【解析】设椭圆方程为，椭圆过点和点，则
， ，
则此椭圆的标准方程是，选A.
12. 已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +=1
【答案】D
考点：椭圆的标准方程
二．填空题（共4小题20分）
13. 椭圆的短轴长为6，焦距为8，则它的长轴长等于_____．
【答案】10
【解析】.
14. 命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是_____．
【答案】
【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是.
15. 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空：“a=0”是“函数f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数”的_____．
【答案】充要条件
【解析】当时，函数是偶函数，反过来函数f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数，则 ，则对恒成立，只需，则“a=0”是“函数f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数”的充要条件.
16. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】方程表示椭圆，则
， ，即：且,
则m的取值范围是.
三．解答题（共6小题70分）
17. 求椭圆 16x2+25y2=400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点坐标．
【答案】详见解析
【解析】试题分析：有关椭圆的简单几何性质问题，首先把椭圆方程化为标准方程，先得出，求出，根据，求出，然后写出长轴，短轴，计算离心率，根据焦点的位置写出焦点的坐标，最后在写出四个顶点的坐标.一要注意焦点在那个轴上，二要注意和和的区别.
试题解析：
由题知
得a=5，b=4，c=3，
所以长轴长2a=10，短轴长：2b=8
离心率：e=，焦点F1（3，0）F2 （﹣3，0 ），
顶点坐标 （5，0）、（﹣5，0）、（0，4）、（0，﹣4）．
18. 写出“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判其真假．
【答案】详见解析
【解析】试题分析：原命题“若，则”，它的逆命题为：“若，则
”，它的否命题为“若 则 ”，它的逆否命题为“若，则”，由于时，成立，原命题为真命题 ，，逆命题为假，根据互为逆否命题同真假可判断出否命题和逆否命题的真假.
试题解析：
逆命题：若x2﹣5x+6=0，则x=2，
假命题；
否命题：若x≠2，则x2﹣5x+6≠0，
是假命题；
逆否命题：若x2﹣5x+6≠0，则x≠2，
是真命题．
【点睛】本题考查四种命题及四种命题的关系，命题“若，则”，它的逆命题为：“若，则 ”，它的否命题为“若 则 ”，它的逆否命题为“若，则”，由于互为逆否的两个命题同真假，所以只需判断两个命题的真假就够了，说明命题为真命题，需要证明其成立，说明一个命题为假命题只需举一个反例.
19. 已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，
由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，
所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；
（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【解析】试题分析：首先化简集合B，根据A∩B=∅，A∪B=R，说明集合A为集合B在R下的补集，根据要求列出方程求出a,第二步从集合的包含关系解决充要条件问题，p是q的充分条件说明集合A是集合B的子集，根据要求列出不等式组，解出a的范围.
试题解析：
（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，
由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a=2，
所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；
（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
20. 求过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆方程．
【答案】
【解析】试题分析：
本题为求椭圆的标准方程问题，待定系数法是求椭圆的标准方程最基本的方法，两个椭法圆共焦点，求出已知椭圆的焦点坐标，借助的值，得出所求椭圆的 关系，再利用椭圆过点的坐标，满足椭圆的方程，列出方程解方程组求出，写出椭圆的方程.
试题解析：
椭圆4x2+9y2﹣36=0，
∴焦点坐标为：（，0），（﹣，0），c=，
∵椭圆的焦点与椭圆4x2+9y2﹣36=0有相同焦点
∴椭圆的半焦距c=，即a2﹣b2=5
∵ ，
∴解得：a2=15，b2=10
∴椭圆的标准方程为.
【点睛】求椭圆的标准方程基本方法有三种：其一是待定系数法，根据题目所提供的条件列出关于的两个方程，再借助解方程组求出，根据焦点的位置写出椭圆的标准方程；其二已知椭圆经过的两个点的坐标时，可以设椭圆的方程为，
其三是定义法，已知焦点坐标和椭圆上一点时，直接用定义求出．
21. 已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．
【答案】m≥3，或1＜m≤2
【解析】试题分析：根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案
试题解析：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，
即命题p：m＞2
若方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根，
则Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）＜0
解得：1＜m＜3．即q：1＜m＜3．
因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，
又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，
因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．
∴解得：m≥3或1＜m≤2．
考点：1．复合命题的真假；2．一元二次方程的根的分布与系数的关系
22. 椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线经过点F1与椭圆交于A，B两点．
（1）求△ABF2的周长；
（2）若的倾斜角为，求弦长|AB|．
【答案】（1）8（2）
【解析】试题分析：解决椭圆问题要注意“勿忘定义”，根据椭圆的定义，把三角形周长看成点Ａ到两焦点的距离和及点Ｂ到两焦点距离和，求椭圆的弦长利用弦长公式，一般设而不求，把直线方程和椭圆方程联立方程组，借助根与系数的关系，利用和求弦长.
试题解析：
（1）椭圆，a=2，b=，c=1，
由椭圆的定义，得丨AF1丨+丨AF2丨=2a=4，丨BF1丨+丨BF2丨=2a=4，
又丨AF1丨+丨BF1丨=丨AB丨，
∴△ABF2的周长为
∴故△ABF2点周长为8；
（2）由（1）可知，得F1（﹣1，0），
∵AB的倾斜角为，则AB斜率为1，A（x1，y1），B（x2，y2），
故直线AB的方程为y=x+1. ，整理得：7y2﹣6y﹣9=0，
由韦达定理可知：y1+y2=，y1•y2=﹣，
则由弦长公式丨AB丨= ，
弦长|AB|=．