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- 2024-03-16 发布
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.设函数，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.若实数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
4.在区间上随机选取两个数和，则的概率为（ ）
A. B． C. D．
5.已知命题：；命题.则下列命题中的真命题为（ ）
A． B． C. D．
6.三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
7.已知向量满足，分别是线段的中点，若，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C. D．
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，且为抛物线
的焦点，设点为两曲线的一个公共点，若的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．
9.执行如图所示的程序框图，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
10.若，则的值为（ ）
A． B． C.253 D．126
11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C. D．
12.函数的最小正周期为，当时，至少有12个零点，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.复数在复平面内的对应点是，则 ．
14.定积分的值为 ．
15.定义在上的奇函数满足，当时，，则等于 ．
16.将一块边长为的正方形纸片，先按如图（1）
所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，内角所对的边分别是，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的值.
18.（本小题满分12分）
设等差数列的公差为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：
（Ⅰ）试确定图中与的值；
（Ⅱ）规定等级D为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生
成绩的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，三棱锥中，，底面为正三角形.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若平面，，求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
椭圆的左、右焦点分别为.
（Ⅰ）若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆过点，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，且的面积为，求椭圆的方程.
22.（本小题满分10分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
2016-2017学年度高三年级阶段性测评（一）
理科数学参考答案及评分参考
一、选择题
1-5:CCDAB 6-10:CBAAC 11、12：DD
解析：
1.C 【解析】，∴.
2.C 【解析】.
3.D 【解析】的最小值为.
4.A 【解析】的概率为.
5.B 【解析】，∴为真命题.
当时，，，，
∴，∴为假命题，∴为真命题.
6.C 【解析】如图，由题可知矩形的中心为该三棱柱外接球的球心，.
∴该球的表面积为.
7.B 【解析】，∴.
∴，，∴与的夹角为.
8.A 【解析】设点为第一象限点，且，，∴，
，∴，∴，故双曲线方程为.
9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数的函数值，
如图可知，当或时符合题意，∴.
10.C 【解析】令，得，，∴.
11.D 【解析】不妨设，∵，∴，又，
∴，∴.根据对称可得直线的斜率为.
12.D 【解析】由题知，∴.
由周期性可知，∴.
二、填空题
13. 14. 15. 16.
【解析】
13.，∴.
14.，由几何意义得，又.
∴.
15.∵，∴且，时，，
∴.
16.由正视图为正三角形可知，图（1）中，∴，
∴正三角形的边长为，.
∴四棱锥的体积为.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由余弦定理得：，∴.……………………5分
（Ⅱ）∵，
∴.……………………………………………………………………10分
18.解：（Ⅰ）由题可得：
，解得.
∴.………………………………………………5分
（Ⅱ）∵，
∴. ①
∴.②
得：
.
.……12分
19.解：（Ⅰ）；……………………4分
（Ⅱ）记表示事件“甲校国学成绩等级为A“，则；表示事件“甲校国学成绩等级为B”，则；
20.（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴.………………………………5分
（Ⅱ）平面且交于，，
∴，则可建立如图所示的空间直角坐标系.
又，为正三角形，
∴，.
设为平面的法向量，则，
∴，∴，
取，则为平面的一个法向量，
又为平面的一个法向量，
∴，
则二面角的余弦值为.……………………………………12分
21.（Ⅰ）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，
∴，
∴，
两边同除以得，，
解得.………………………………5分
（Ⅱ）由已知得，
把直线代入椭圆方程，得，
∴.
∴.
由椭圆的对称性及平面几何知识可知，面积为：
，
∴，解得，
∴.
故所求椭圆的方程为.……………………………………12分
22.解：（Ⅰ）函数的定义域为，
，
设，
（1）当时，成立，故成立，在上为增函数；
（2）当时，，令，得.
显然，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，，为增函数，
综上，当时，在上为增函数，
当时，在，上为增函数，
在上为减函数.…………………………5分
（Ⅱ）显然，由可知：
当时，，故成立；
当时，.
令，得.
显然，
当时，为减函数，
当时，，，为减函数；
若，则，当时，为增函数，故成立；
若，则，由在上为减函数可知，当时，为减函数，
与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是.