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- 2024-03-14 发布
江苏省盐城中学高二年级阶段性考试
数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分．）
1.若，则下列描述的大小关系正确的为
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质即可得出正确答案．
【详解】由题意，可得c2＞0，两边同乘以可得，所以A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的基本性质的运用，属于基础题．
2.已知等比数列中，，则的值是
A. 5 B. 6 C. 14 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列的性质可知•＝，代入即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，•＝，又
所以，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.
3.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第15项是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…有1项1，2项2，3项3，…n项n，此时共有1+2+3+…+n项，进而可得第15项的值．
【详解】∵数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…
有1项1，2项2，3项3，…n项n，
累加值从1到n，共有1+2+3+…+n项，
令15，
解得：n≤5．
故数列的第15项是：5，
故选A.
【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
4.已知的内角，且则边上的中线的长为
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
在△ABD中，利用余弦定理即可得出．
【详解】如图所示，
∵D是BC边的中点，BC＝4，
∴BD＝2．
在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AD•BDcosB＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3．
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
5.已知一个正三棱柱的底面边长为，且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意得到正三棱柱的高，代入体积公式计算即可．
【详解】设正三棱柱底面边长a，则高为2a，
∴正三棱柱的体积V•2a．
故选D．
【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于基础题．
6.直线与圆的位置关系为
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到选项．
【详解】圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心坐标（1，﹣1），半径为：2．
圆心到直线的距离为：3＞2．
圆与直线相离．
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基本知识的考查．
7.《九章算术》是我国古代内容极丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，前七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．
【详解】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8＝15，S7＝28，
设公差为d，由a2+a5+a8＝15，得3a5＝15，∴a5＝5，
由S7＝28，得7a4＝28，∴a4＝4，则d＝a5﹣a4＝1，
∴a9＝a5+4d＝5+4×1＝9．
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式及性质的应用，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
8.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意和等差数列的性质可得：，化简可得．
【详解】由题意和等差数列的性质可得：
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．
9.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系
求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），
∴a＜0，且2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴，
解得b＝﹣5a，c＝6a，其中a＜0；
∴不等式bx2-ax+c＜0化为﹣5ax2﹣ax+6a＜0，
即5x2+x-6<0，
解得x，
因此所求不等式的解集为（，）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次不等式解法以及一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．
10.已知等差数列满足（），若存在两项， 使得，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列公差为d，运用求和公式，可得d，再由通项公式可得s+t＝6，再由（s+t）（），化简整理，再由基本不等式即可得到最小值．
【详解】设等差数列的公差为d，
则，
，
解得d＝3，
由于＝2a1+12，
则a1+3（s﹣1）+a1+3（t﹣1）＝2a1+12，
则有s+t＝6，
则（s+t）（）（5）
（5+2）＝，
当且仅当t＝2s＝4时，取得最小值，且为．
故选B．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查基本不等式的运用：求最值，注意1的代换，考查运算能力，属于中档题和易错题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．）
11.若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝__________．
【答案】
【解析】
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，所以由题意知－2·k＝－1，解得k＝.
12.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式可转化为x+m0，利用基本不等式的性质可得x的最小值，即可得出．
【详解】由题意原不等式可转化为x+m0，
∵x∈[1，3]，∴x4，当且仅当x＝2时取等号．
∵不等式x+m0对一切x∈[1，3]恒成立，
∴m+4>0，
解得m＞﹣4，
故答案为：m＞﹣4．
【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.已知，则的最小值为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用2x+y＝3x•y﹣2（）2﹣2，解不等式即可求最值．
【详解】由题意结合基本不等式可得2x+y＝3x•y﹣2（）2﹣2（当且仅当2x＝y时取等号）
整理得3（2x+y）2-8（2x+y）﹣16≥0
即（2x+y﹣4）[3（2x+y）+4]≥0，又2x+y＞0，
所以2x+y≥4（当且仅当2x＝y=2时取等号）
则2x+y的最小值是4
故答案为4．
【点睛】此题主要考查基本不等式的用法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14.设数列满足,则数列的前2020项之和为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知数列{an+1+an}是等比数列，易得an+1+an＝8，由累加法结合等比数列的求和公式可得．
【详解】由题意可得
可得数列{an+1+an}是等比数列，又由已知可得a3＝2a2+3a1，代入已知可得a2＝5，
所以数列{an+1+an}的首项是8，公比是3，
∴an+1+an＝8，
n依次取1，3，5，…，2019，可得
a2+a1＝8，
a4+a3＝8，
a6+a5＝8，
…
a2020+a2019＝8，
以上式子加起来可得数列的前2020项之和为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的证明，考查了分析能力及逻辑推理能力，属中档题．
三、解答题：（本大题共6小题，计80分．）
15.解下列关于的不等式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）{x|x＞或x<﹣1}；（2）[a，a +1]．
【解析】
【分析】
（1）利用分式不等式的解法，移项通分化简解之；
（2）首先分解因式，判断两个根的大小，得到解集．
【详解】（1）变形为，即，
所以（3x-1）（x+1）>0，所以x＞或x<﹣1；
不等式的解集为{x|x＞或x<﹣1}；
（2）不等式变形为（x﹣a）（x﹣a﹣1）0，因为a +1> a，
所以不等式的解集为[a，a +1].
【点睛】本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法；关键是正确转化，属于基础题．
16.已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．
（2）由（1）可得tanα，利用二倍角的正切函数公式可得tan2α的值．
【详解】∵ sin＝，∴ cos＝＝，可得tan＝＝.
(1)sin ＝sincos－cossin＝×－×＝.
(2) ∵由（1）可得tan，可得：tan2α.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，二倍角的正切函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
17.设数列前项和为，对任意，都有．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求满足的最大正整数．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1可得递推关系，再利用等差数列的定义即可得出；
（2）直接利用等差数列前n项和公式即可得出．
【详解】（1）∵，∴时，．
∴．
∴．
∴．∴是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）∵由（1）可得，代入已知可得：=，
∴,解得n<17，
∴满足题意的最大正整数．
【点睛】本题考查了等差数列的定义及通项公式、前n项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.
18.如图（示意），公路AM、AN围成是一块顶角为钝角α的角形耕地，其中．在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路、的距离、分别为，．现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园．设，，其中．
（1）试建立间的等量关系；
（2）为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
【答案】（1）3x＋2y＝xy；（2）当AB＝10km时，最小面积为30km2
【解析】
【分析】
（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．由S△ABC＝S△ABP+S△APC，求得面积的表达式，从而求得x，y的关系.
（2）运用基本不等式可得最小值．
【详解】（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F．因为P到AM，AN的距离分别为3，2，
即PE＝3，PF＝2．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝⋅x⋅3⋅y⋅2＝(3x＋2y)①
所以S△ABC＝x⋅y② ，即3x＋2y＝xy．
（2）因为3x＋2y≥2，所以xy≥2．解得xy≥150．
当且仅当3x＝2y取“＝”，即x＝10，y＝15．
所以S△ABC＝xy有最小值30．
所以：当AB＝10km时，该工业园区的面积最小，最小面积为30km2
【点睛】本题考查数学模型法在实际问题中的运用，考查函数最值的求法，注意运用基本不等式求最值的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
20.已知数列满足,.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列满足,其中.记的前项和为.是否存在正整数,使得成立？若存在,请求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3），见解析
【解析】
【分析】
（1）由条件，可得，从而可得{}是公比为的等比数列，由此可求数列{an}的通项公式；
（2）由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和．
（3）先通过列举法写出{Sn}的前8项，再对m，n的奇偶分类讨论，利用{Sn}的单调性来说明仅有一对符合题意的m，n.
【详解】（1）由已知可得：，即，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即.
(2)Tn＝1•2•3•n•（）n，
Tn＝1••2••（）nn•（）n+1，
作差得：Tn＝nn•（）n+1＝n•（）n+1，
所以
(3)由已知可得，，，，
，，，.
1°当同时为偶数时，可知；设,则，因为
，
所以数列单调递增，则≥5时，，即{S2n}在≥5时单调增，所以不成立；
故当同时为偶数时，可知；
2°当同时为奇数时，设,则，因为
，
所以数列单调递增，则当≥2时，，
即≥2时，，数列在≥2时单调递增，
而，，，故当同时为奇数时，不成立；
3°当为偶数，为奇数时，显然时，不成立，
若，则，
∵，∴，由2°可知，∴，
∴当为偶数，为奇数时，不成立；
4°当为奇数，为偶数时，显然时，不成立，若，则，
若，则，
即，∴时，不成立;
若，由1°知,又记满足，所以单调递增，，所以时，不成立；
综上：存.
【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求和的方法，考查了数列的单调性的应用，考查了分析问题解决问题的能力，考查了严谨的思维逻辑能力，属于难题.