江苏省徐州市侯集高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 19页

苏省侯集高级中学 ‎2019—2020学年第一学期高二期末考试数学模拟试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，请将答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.不等式的解集是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，所以不等式解集：，故选B.‎ 考点：一元二次不等式 ‎2.设为等差数列，若，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出，进而求得.‎ ‎【详解】设等差数列公差为 则 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )‎ A. 2 B. 6 C. 4 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.‎ ‎【详解】设另一焦点为，由题在BC边上，‎ 所以的周长 故选：C ‎【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.‎ ‎4.“”是“方程为椭圆”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B．‎ 考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．‎ ‎5.已知，，，且，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，，得，‎ ‎，当且仅当时等号成立．选B．‎ ‎6.关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特值,利用排除法求解即可.‎ ‎【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D ‎【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：‎ 求最值，说明恒成立 参变分离，再求最值．‎ ‎7.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得 设坐标分别为，则 因为，所以，从而有①‎ 再由可得，根据椭圆第二定义可得 ‎，即②‎ 由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B ‎8.设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）‎ A. 290 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可 ‎【详解】由得，‎ 当时，，整理得，‎ 所以是公差为4的等差数列，又，‎ 所以，从而，‎ 所以，‎ 数列的前10项的和.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题 二、多选题：(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请将答案写在答题卡相应位置上.)‎ ‎9.若，则下列不等式,其中正确的有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.‎ ‎【详解】由题：‎ 由基本不等式可得：，所以A正确；‎ 当时，，所以B错误；‎ ‎，所以，‎ 即，所以C正确；‎ 因为，所以 即，所以D正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】此题考查基本不等式的应用，注意适用范围，对每个选项依次验证，必须要么证明其成立，要么举出反例，能够熟记常用的基本不等式的变形对提升解题速度大有帮助.‎ ‎10.给出下列四个命题，其中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 使得 D. ，使得 ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每个命题逐一检验证明其成立或举出反例判定该选项错误.‎ ‎【详解】，即，所以A正确；‎ ‎，即，所以B正确；‎ 当时，，所以C正确；‎ 当时，，所以D正确.‎ 故选：ABCD ‎【点睛】此题考查全称命题与特称命题真假性的判断，要求基础知识扎实方可准确求解.‎ ‎11.给出下列命题，其中不正确的命题为（ ）‎ A. 若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；‎ B. 若，则是钝角；‎ C. 若为直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是l的方向向量；‎ D. 非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面．‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合向量相关知识，对每个选项依次检验，证明其成立或举出反例判定该选项错误.‎ ‎【详解】考虑平行四边形中，满足，不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；所以A选项不正确；‎ 当非零向量夹角为时，满足，但它们夹角不为钝角，所以B选项不正确；‎ 若为直线l的方向向量，当不能说是l的方向向量，所以C选项不正确；‎ 考虑三棱柱，，满足与，与，与都是共面向量，但不共面，所以D选项不正确.‎ 故选：ABCD ‎【点睛】此题考查向量相关概念问题的辨析，考查基础知识的掌握程度，易错点在于对细节特殊情况的讨论.‎ ‎12.已知双曲线的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是 F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）‎ A. ‎ B. 直线的斜率之积等于定值 C. 使得为等腰三角形的点有且仅有8个 D. 的面积为 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.‎ ‎【详解】在中，两边之差小于第三边，即，所以A不是真命题；‎ 设点，有，，‎ 直线的斜率之积 ‎，所以B是真命题；‎ 根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，‎ 也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，‎ 所以C是真命题；‎ ‎，根据焦点三角形面积的二级结论，所以D不是真命题.‎ 故选：BC ‎【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请将答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为___________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线的半焦距c，进而得到实数的值.‎ ‎【详解】解：双曲线中： ，所以，抛物线的焦点为，，‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求抛物线方程，考查双曲线简单的几何性质，属于基础题.‎ ‎14.已知，，且，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，利用均值不等式可得，解不等式即可得到的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解析：化为，即，‎ 解得：，所以，的最大值为．‎ 故答案为 ‎【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎15.已知数列满足，则数列的通项公式为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，令，可得个等式，将这个等式相加整理即可得 ‎【详解】解：由可得，‎ 个等式，‎ 将上述个等式左边的和左边的相加，右边的和右边的相加，‎ 得，‎ 整理得：.‎ 故答案为 .‎ ‎【点睛】本题考查数列求和方法中的累加法，考查学生的计算能力，是基础题.‎ ‎16.已知等差数列的公差为，前n项和为，且数列也为公差为d的等差数列，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示出，再表示出，整理并观察等式，列方程组即可求解．‎ ‎【详解】等差数列公差为，前项和为，设其首项为，‎ 则=，‎ 又数列也为公差为的等差数列，首项为，‎ 所以=，即：‎ 整理得：‎ 上式对任意正整数n成立，‎ 则，解得：，‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请将答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎17.已知,,若p是q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据p是q的充分而不必要条件可得对应的集合是对应的集合的真子集，据此可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】不等式的解集为，‎ 因为，故不等式的解集为，‎ 依题意，且，故Ü，‎ 故且等号不同时成立，解得：,‎ ‎∴正实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；‎ ‎（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．‎ ‎18.已知是等差数列，是等比数列，且，，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式； ‎ ‎（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，可得，所以，‎ 又由，所以，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（2）由题意知，‎ 则数列的前项和为 ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．‎ ‎（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；‎ ‎（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？‎ ‎【答案】（1）；（2）当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意知，将其代入为常数）即可求出参数，‎ 即可求出关于的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进 而求出函数的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.‎ 由,得 所以 ‎（2）因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．‎ ‎（2）导数解法：，令得 当时，，当时，．‎ 所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．‎ 考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．‎ ‎20.如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）证明：直线与平面相交．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面垂直性质得到,由三楼柱的性质得到,进而得到,由等腰三角形的性质得到,再根据线面垂直判定定理可得平面.‎ ‎（2）根据条件建立空间直角坐标系,由题意得到各点坐标 ,求得平面的法向量为,又有平面的法向量为,根据向量数量积公式求得两法向量的夹角的余弦值,再根据二面角与法向量夹角相等或互补求得二面角的余弦值.‎ ‎（3）根据平面的法向量与向量的数量积不为,可得与平面不平行,进而得到与平面相交.‎ ‎【详解】解：（1）在三棱柱 中,‎ 平面,‎ ‎∴四边形为矩形．‎ 又分别为的中点,‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎,‎ 平面 ．‎ ‎（2）由（1）知,,．‎ 又平面, 平面．‎ ‎ 平面,．‎ 如图建立空间直角坐称系 ．‎ 由题意得,,,,．‎ ‎∴,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎,,‎ 令,则,,‎ ‎∴平面的法向量,‎ 又∵平面的法向量为..,‎ ‎∴．‎ 由图可得二面角为钝角,所以二面角 的余弦值为．‎ ‎（3）平面的法向量为, ,‎ ‎,,与不垂直,‎ ‎ 与平面不平行且不在平面内,与平面相交．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用、空间的角的计算以及空间平面与平面的垂直的判定与性质.‎ ‎21.已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求面积的最大值（为坐标原点）．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）可设直线AB的方程为，从而可知有两个不同 的解，再由中点也在直线上，即可得到关于的不等式，从而求解；（2）令，可 将表示为的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.‎ 试题解析：（1）由题意知，可设直线AB的方程为，由，‎ 消去，得，∵直线与椭圆有两 个不同的交点，∴，①，将AB中点代入直线 方程解得，②．由①②得或；（2）令 ‎，则，且O到直线AB 的距离为，设的面积为，‎ ‎∴，当且仅当时，等号成立，故 面积的最大值为.‎ 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.‎ ‎22.已知各项都是正数的数列的前n项和为，，．‎ 求数列的通项公式；‎ 设数列满足：，，数列的前n项和求证：．‎ 若对任意恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当，得，当时，，得数列递推关系式，因式分解可得 ‎，根据等差数列定义得数列通项公式（Ⅱ）因为，所以利用叠加法求通项公式：，因此，从而利用裂项相消法求和得，即证得（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由得，而有最大值，所以 试题解析：（1）时，‎ 是以为首项，为公差的等差数列 ‎…4分 ‎（2）‎ ‎，，即…………………9分 ‎（3）由得， 当且仅当时，有最大值，………………………………14分 考点：等差数列定义，叠加法求通项，裂项相消法求和 ‎【方法点睛】裂项相消法是指将数列通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎ ‎ ‎ ‎