2012年高考数学真题分类汇编C　三角函数（文科） 23页

C　三角函数 C1 角的概念及任意角的三角函数 ‎3．B9、C1[2012·湖北卷] 函数f(x)＝x cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎3．D　‎ ‎[解析] 要使f(x)＝xcos2x＝0，则x＝0或cos2x＝0，而cos2x＝0(x∈[0,2π])的解有x＝，，，，所以零点的个数为5.故选D.‎ ‎20．C1、M1[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎20．解：解法一：‎ ‎(1)选择(2)式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－a)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 解法二：‎ ‎(1)同解法一．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ‎＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)‎ ‎＝1－cos2α－＋cos2α＝.‎ C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ‎4．C2[2012·全国卷] 已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎4．A　[解析] 由α为第二象限角及sinα＝得cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，故选A.‎ ‎6．C2、C6[2012·辽宁卷] 已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ ‎6．A　[解析] 本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用．解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式．‎ ‎∵sinα－cosα＝⇒(sinα－cosα)2＝2⇒1－2sinαcosα＝2⇒sin2α＝－1.‎ 故而答案选A.‎ ‎19．C2、C3、C4[2012·重庆卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝的值域．‎ ‎19．解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.‎ 因f(x)在x＝处取得最大值2，所以A＝2.从而sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－π<φ≤π得φ＝.‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)g(x)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝cos2x＋1.‎ 因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠，故g(x)的值域为∪.‎ C3 三角函数的图象与性质 ‎8．C3[2012·福建卷] 函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ ‎8．C　[解析] 解题关键是明确三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点，可以把四个选项代入验证，只有当x＝－时，函数f＝sin＝－1取得最值，所以选择C.‎ ‎17．C3、C4[2012·陕西卷] 函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α∈，f＝2，求α的值．‎ ‎17．解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，‎ ‎∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，‎ ‎∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.‎ ‎(2)∵f＝2sin＋1＝2，‎ 即sin＝，‎ ‎∵0<α<，∴－<α－<，‎ ‎∴α－＝，故α＝.‎ ‎18．C3、C4[2012·湖南卷] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图1－6所示．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．‎ 图1－6‎ ‎18．解：(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.‎ 因为点在函数图象上，‎ 所以Asin＝0，即sin＝0.‎ 又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜.从而＋φ＝π，即φ＝.‎ 又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)g(x)＝‎ ‎2sin－2sin ‎＝2sin2x－2sin ‎＝2sin2x－2 ‎＝sin2x－cos2x ‎＝2sin.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ 图1－7‎ ‎9．B14、C3[2012·湖南卷] 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，x－f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．5 D．8‎ ‎9．B　[解析] 本题考查函数的性质和函数的零点，以及数形结合思想，意在考查考生函数性质与图像综合运用的能力；具体的解题思路和过程：利用函数的奇偶性、周期性和单调性，作出函数简图，把f(x)－sinx＝0构造两个函数，利用数形结合思想，得出函数的零点数．‎ 由当x∈(0，π) 且x≠时，f′(x)＞0 ，可知函数f(x)在上是单调递减的，在上是单调递增的，又由函数为偶函数，周期为2π，可画出其一个简图，令f(x)－sinx＝0，即f(x)＝sinx，构造两个函数y＝f(x)和y＝sinx，由图可知，函数有4个零点．‎ ‎[易错点] 本题易错一：对函数的性质掌握不到位，无法作出函数图象的简图；易错二：函数的零点个数的确定有三种方法，此题只能用函数的交点方法求解；易错三：许多考生不习惯作图，无法正确运用数形结合思想解答．‎ ‎19．C2、C3、C4[2012·重庆卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝的值域．‎ ‎19．解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.‎ 因f(x)在x＝处取得最大值2，所以A＝2.从而sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－π<φ≤π得φ＝.‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)g(x)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝cos2x＋1.‎ 因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠，故g(x)的值域为∪.‎ ‎3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f(x)＝的最小正周期是________．‎ ‎3．π　[解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．‎ f(x)＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，由三角函数周期公式得，T＝＝π.‎ C4　函数的图象与性质 ‎6．C4[2012·浙江卷] 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)‎ 图1－2‎ ‎6．A　[解析] 本题考查了余弦函数的性质与函数图象的变换，考查了学生对余弦函数图象、性质的掌握，会利用“五点法”确定函数的大致形状、位置．函数y＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝cosx＋1的图象；再将函数向左平移一个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)＋1的图象；最后把函数向下平移1个单位长度即得到函数y＝cos(x＋1)的图象，可以看成是函数y＝cosx向左平移一个单位得到y＝cos(x＋1)的图象，可用特殊点验证函数的大致位置．‎ ‎7．C4[2012·天津卷] 将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，‎ 所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎7．D　[解析] 法一：将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin的图象，又∵其图象过点，∴g＝sin＝sinω＝0，‎ ‎∴ω最小值取2.‎ 法二：函数f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位后过点，∴函数f(x)＝sinωx的图象过点，即f＝sinω＝0，∴ω最小值取2.‎ ‎8．C4[2012·山东卷] 函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)‎ A．2－ B．0‎ C．－1 D．－1－ ‎8．A　[解析] 本题考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，考查运算求解能力，中档题．‎ ‎∵0≤x≤9，∴－≤x－≤π，当x－＝－π时，y＝2sin有最小值2×＝－，当x－＝π时，y＝2sin有最大值2.‎ ‎9．C4[2012·课标全国卷] 已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．A　[解析] 由题意，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2＝2π，又ω>0，所以ω＝＝1.故f(x)＝sin.故 ①或 ②‎ 由①得φ＝2kπ＋；‎ 由②得φ＝2kπ－.‎ 又已知0<φ<π，所以由①得φ＝；②无解．‎ 综上，φ＝.故选A.‎ ‎15．C4[2012·全国卷] 当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.‎ ‎15.　[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．‎ 函数可化为y＝2sin，由x∈[0,2π)得x－∈，∴x－＝，即x＝ 时，函数有最大值2，故填.‎ ‎19．C2、C3、C4[2012·重庆卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝的值域．‎ ‎19．解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.‎ 因f(x)在x＝处取得最大值2，所以A＝2.从而sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－π<φ≤π得φ＝.‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)g(x)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝cos2x＋1.‎ 因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠，故g(x)的值域为∪.‎ ‎17．C3、C4[2012·陕西卷] 函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α∈，f＝2，求α的值．‎ ‎17．解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，‎ ‎∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，‎ ‎∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.‎ ‎(2)∵f＝2sin＋1＝2，‎ 即sin＝，‎ ‎∵0<α<，∴－<α－<，‎ ‎∴α－＝，故α＝.‎ ‎7．C4[2012·安徽卷] 要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象(　　)‎ A．向左平移1个单位 ‎ B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 ‎ D．向右平移个单位 ‎7．C　[解析] 因为y＝cos＝cos2，所以只需要将函数y＝cos2x的图像向左移动个单位即可得到函数y＝cos的图像．‎ ‎5．A3、C4[2012·山东卷] 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)‎ A．p为真 B．綈q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎5．C　[解析] 本题考查含量词命题间的真假关系及三角函数的图象与性质，考查推理能力，容易题．‎ ‎∵函数y＝sin2x的最小正周期为π，∴命题p为假命题；函数y＝cosx的图象的对称轴所在直线方程为x＝kπ，k∈Z，∴命题q为假命题，由命题间的真假关系得p∧q为假命题．‎ ‎18．C3、C4[2012·湖南卷] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图1－6所示．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．‎ 图1－6‎ ‎18．解：(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.‎ 因为点在函数图象上，‎ 所以Asin＝0，即sin＝0.‎ 又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜.从而＋φ＝π，即φ＝.‎ 又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)g(x)＝‎ ‎2sin－2sin ‎＝2sin2x－2sin ‎＝2sin2x－2 ‎＝sin2x－cos2x ‎＝2sin.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ 图1－7‎ ‎15．C4、C5、C6、C7[2012·北京卷] 已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递减区间．‎ ‎15．解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，‎ 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．‎ 因为f(x)＝ ‎＝2cosx(sinx－cosx)‎ ‎＝sin2x－cos2x－1‎ ‎＝sin－1，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)函数y＝sinx的单调递减区间为(k∈Z)．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎3．C4[2012·全国卷] 若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．C　[解析] 本小题主要考查三角函数的性质．解题的突破口为正、余弦函数的振幅式在对称轴处取得最值．‎ ‎∵f(x)＝sin为偶函数，有x＝0时f(x)取得最值，即＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，由于φ∈[0,2π]，所以k＝0时，φ＝符合，故选C.‎ ‎18．C4、C6、C7[2012·湖北卷] 设函数f(x)＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．‎ ‎18．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ ‎＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，‎ 可得sin＝±1，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)，‎ 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝，所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，‎ 即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．‎ C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎5．C5、C7[2012·重庆卷] ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎5．C　[解析] ‎＝ ‎＝ ‎＝sin30°＝，选C.‎ ‎17．C8、C5[2012·课标全国卷] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asinC－ccosA.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.‎ ‎17．解：(1)由c＝asinC－ccosA及正弦定理得 sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.‎ 由于sinC≠0，所以sin＝.‎ 又0B>C，可得a＝c＋2，b＝c＋1①.又因为3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝，则3b＝‎20a·②，联立①②，化简可得‎7c2－‎13c－60＝0，解得c＝4或c＝－(舍去)，则a＝6，b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.‎ ‎6．C8[2012·广东卷] 在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)‎ A．4 B．‎2 C. D. ‎6．B　[解析] 根据正弦定理得：＝，即＝.解得AC＝2.‎ ‎13．C8[2012·福建卷] 在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝，则AC＝________.‎ ‎13.　[解析] 在△ABC中，利用正弦定理得：‎ ＝⇒＝⇒AC＝＝.‎ ‎17．C8[2012·全国卷] △ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足2b2＝‎3ac，求A.‎ ‎17．解：由A、B、C成等差数列及A＋B＋C＝180°得B＝60°，A＋C＝120°.‎ 由2b2＝‎3ac及正弦定理得 ‎2sin2B＝3sinAsinC，‎ 故sinAsinC＝.‎ cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－，‎ 即cosAcosC－＝－，‎ cosAcosC＝0，‎ cosA＝0或cosC＝0，‎ 所以A＝90°或A＝30°.‎ ‎11．C8[2012·北京卷] 在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．‎ ‎11.　[答案] 本题考查三角形中正弦定理(或余弦定理)以及三角形性质的应用．‎ 法一：正弦定理：由正弦定理知＝＝＝，所以sinB＝，又a＝3>b＝，所以A>B，‎ 所以0＋1时，图像与横轴平行，故选A.‎ ‎15．C9[2012·江苏卷] 在△ABC中，已知·＝3·.‎ ‎(1)求证：tanB＝3tanA；‎ ‎(2)若cosC＝，求A的值．‎ ‎15．解：(1)证明：因为·＝3·，‎ 所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，‎ ‎ 即AC·cosA＝3BC·cosB，‎ 由正弦定理知＝，‎ 从而sinBcosA＝3sinAcosB，‎ 又因为00，cosB>0，‎ 所以tanB＝3tanA.‎ ‎(2)因为cosC＝，00，故tanA＝1，所以A＝.‎ ‎18．C8、C9[2012·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．‎ ‎18．解：(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得 sinB＝cosB，‎ 所以tanB＝，‎ 所以B＝.‎ ‎(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝‎2a.‎ 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得 ‎9＝a2＋c2－ac，将c＝‎2a代入得，‎ a＝，c＝2.‎ ‎16．C9、F4[2012·山东卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．‎ 图1－5‎ ‎16．(2－sin2,1－cos2)　[解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．‎ 根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C‎2M⊥y轴于M, ∠PC2Q＝2，∠PC‎2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，‎ 点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.‎ ‎18．C9[2012·四川卷] 已知函数f(x)＝cos2－sin·cos－.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)若f(α)＝，求sin2α的值．‎ ‎18．解：(1)由已知，f(x)＝cos2－sincos－ ‎＝(1＋cosx)－sinx－ ‎＝cos.‎ 所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.‎ ‎(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，‎ 所以cos＝.‎ 所以sin2α＝－cos＝－cos2 ‎＝1－2cos2＝1－＝.‎