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- 2024-03-12 发布
第 10 讲 高考中的三角函数
题型一| 三角恒等变换
(2016·南京盐城二模)已知α为锐角，
cos α＋π
4 ＝ 5
5 .
(1)求 tan α＋π
4 的值；
(2)求 sin 2α＋π
3 的值．
[解] (1)因为α∈ 0，π
2 ，所以α＋π
4
∈
π
4
，3π
4 ，
所以 sin α＋π
4 ＝ 1－cos2 α＋π
4 ＝2 5
5
， 3 分
所以 tan α＋π
4 ＝
sin α＋π
4
cos α＋π
4
＝2. 6 分
(2)因为 sin 2α＋π
2 ＝sin 2 α＋π
4 ＝
2sin α＋π
4 cos α＋π
4 ＝4
5
， 9 分
cos 2α＋π
2 ＝cos 2 α＋π
4 ＝2cos2 α＋π
4 －1＝－3
5
， 12 分
所以 sin 2α＋π
3 ＝sin
2α＋π
2 －π
6 ＝
sin 2α＋π
2 cosπ
6
－cos 2α＋π
2 sinπ
6
＝4 3＋3
10 . 14 分
【名师点评】 1.本题(2)在求解中，从角“2α＋π
3
”与角“α＋π
4
”的关系入
手，先求 cos 2α＋π
2 ，再求 sin 2α＋π
3 的值，避免了复杂的运算．
2．三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公
式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现
题目所给条件与恒等变换公式的联系．
已知 0＜α＜π
2
＜β＜π，tanα
2
＝1
2
，cos(β－α)＝ 2
10.
(1)求 sin α的值；
(2)求β的值．
[解] (1)∵tanα
2
＝1
2
，∴tan α＝
2tanα
2
1－tan2α
2
＝
2×1
2
1－
1
2 2
＝4
3. 3 分
由
tan α＝sin α
cos α
＝4
3
，
sin2α＋cos2α＝1，
5 分
解得 sin α＝4
5
sin α＝－4
5
舍去
. 6 分
(2)由(1)可知 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－
4
5 2＝3
5
，
又 0＜α＜π
2
＜β＜π， 8 分
∴β－α∈(0，π)，
而 cos(β－α)＝ 2
10
， 10 分
∴sin(β－α)＝ 1－cos2β－α＝ 1－
2
10 2＝7 2
10 . 11 分
∴sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)
＝4
5
× 2
10
＋3
5
×7 2
10
＝ 2
2 . 13 分
又β∈
π
2
，π ，故β＝3π
4 . 14 分
题型二| 正、余弦定理
在△ABC 中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若 cos C＝ 5
5
，求 A 的值．
[解题指导] (1)AB→·AC→＝3BA→·BC→ ―――――→数量积的定义
AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B ―――→正弦定理证明 tan B＝3tan A
(2)cos C ――→同角关系tan C ――→诱导公式tan(A＋B) ――→正切公式tan A ――→A 的范围求 A.
[解] (1)证明：因为AB→·AC→＝3BA→·BC→，所以 AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
2 分
即 AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知 AC
sin B
＝ BC
sin A
，
从而 sin Bcos A＝3sin Acos B． 4 分
又因为 00，cos B>0，
所以 tan B＝3tan A． 6 分
(2)因为 cos C＝ 5
5
，00，所以 tan A＝1，所以 A＝π
4. 14 分
【名师点评】 求解此类问题的关键是将几何问题代数化，基本工具是正(余)
弦定理．
若要把“边”化为“角”，常利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
若要把“角”化为“边”，常利用 sin A＝ a
2R
，sin B＝ b
2R
，sin C＝ c
2R
，cos C＝
a2＋b2－c2
2ab
等．
在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(b2＋c2－a2)tan A
＝ 3bc.
(1)求角 A；
(2)若 a＝2，求△ABC 的面积 S 的最大值．
【导学号：19592032】
[解] (1)由已知得b2＋c2－a2
2bc ·sin A
cos A
＝ 3
2
，所以 sin A＝ 3
2
， 4 分
又因为△ABC 为锐角三角形，所以 A＝60°. 6 分
(2)因为 a＝2，A＝60°，所以 b2＋c2＝bc＋4，S＝1
2bcsin A＝ 3
4 bc， 8
分
而 b2＋c2≥2bc⇒bc＋4≥2bc⇒bc≤4， 10 分
又 S＝1
2bcsin A＝ 3
4 bc≤ 3
4
×4＝ 3. 13 分
所以△ABC 的面积 S 的最大值等于 3. 14 分
题型三| 正、余弦定理的实际应用
(2016·无锡期中)如图 10－1，某自行车手从 O 点出发，沿折线 O－A
－B－O 匀速骑行，其中点 A 位于点 O 南偏东 45°且与点 O 相距 20 2千米．该
车手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C，其中点 C 位于点 O 南偏东(45°
－α)(其中 sin α＝ 1
26
，0°＜α＜90°)且与点 O 相距 5 13千米(假设所有路面及观
测点都在同一水平面上)．
图 10－1
(1)求该自行车手的骑行速度；
(2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E，假定以点 E 为中心的 3.5
千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说
明理由．
[解] (1)由题意知，OA＝20 2，OC＝5 13，∠AOC＝α，sin α＝ 1
26.
由于 0°＜α＜90°，所以 cos α＝ 1－
1
26 2＝5 26
26 . 3 分
由余弦定理，得 AC＝ OA2＋OC2－2OA·OC·cos α＝5 5. 5 分
所以该自行车手的行驶速度为5 5
1
3
＝15 5(千米/小时). 6 分
(2)如图，设直线 OE 与 AB 相交于点 M.在△AOC 中，由余弦定理，得：
cos∠OAC＝OA2＋AC2－OC2
2OA·AC
＝202×2＋52×5－52×13
2×20 2×5 5
＝3 10
10
，
从而 sin∠OAC＝ 1－cos2∠OAC＝ 1－ 9
10
＝ 10
10 . 9 分
在△AOM 中，由正弦定理，得：
OM＝ OAsin∠OAM
sin45°－∠OAM
＝
20 2× 10
10
2
2
3 10
10
－ 10
10
＝20. 12 分
由于 OE＝27.5＞20＝OM，所以点 M 位于点 O 和点 E 之间，且 ME＝OE－
OM＝7.5.
过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离. 14 分
在 Rt△EHM 中，
EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5× 5
5
＝3 5
2
＜3.5.
所以该自行车手会进入降雨区. 16 分
【名师点评】 借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的
一个命题热点，解题的关键是将问题转化到平面图形(如三角形、四边形等)中，
然后借助正、余弦定理解题．
(2016·扬州期中)有一块三角形边角地，如图 10－2，△ABC 中，其中 AB＝
8(百米)，AC＝6(百米)，∠A＝60°.某市为迎接 2500 年城庆，欲利用这块地修一
个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲，其中点 E 在边 AB 上，点 F 在边
AC 上．规划部门要求△AEF 的面积占△ABC 面积的一半，记△AEF 的周长为 l(百
米)．
图 10－2
(1)如果要对草坪进行灌溉，需沿△AEF 的三边安装水管，求水管总长度 l
的最小值；
(2)如果沿△AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度 l 的最大值，并确定此
时 E，F 的位置．
[解] (1)设 AE＝x(百米)，
∵S△AEF＝1
2S△ABC，
∴1
2AE·AF·sin A＝1
2
×1
2AB·AC·sin A． 2 分
∵AB＝8，AC＝6，∴AF＝24
x .
∵
0＜x≤8，
0＜24
x
≤6， ∴4≤x≤8. 3 分
在△AEF 中，EF2＝x2＋
24
x 2－2x·24
x cos 60°＝x2＋242
x2
－24，
∴l＝x＋24
x
＋ x2＋242
x2
－24，x∈[4,8]， 5 分
l＝x＋24
x
＋ x2＋242
x2
－24≥2 24＋ 2×24－24＝6 6，当且仅当 x＝2 6时
取“＝”，
∴lmin＝6 6. 6 分
(2)由(1)知：l＝x＋24
x
＋ x2＋242
x2
－24，x∈[4,8]．
令 t＝x＋24
x
，x∈[4,8]，∴t′＝1－24
x2
＝x2－24
x2
＝x－2 6x＋2 6
x2 . 9 分
列表得：
x (4,2 6) 2 6 (2 6，8)
t′ － 0 ＋
t 极小值 4 6
且 x＝4 时，t＝10；x＝8 时，t＝11，则 t∈[4 6，11]．
l＝t＋ t2－72在[4 6，11]上单调递增，∴当 t＝11 时，lmax＝18，此时 AE＝
8，AF＝3， 13 分
答：水管总长度 l 的最小值为 6 6百米；当点 E 在 A 处，点 F 在线段 AC 的
中点时，长廊总长度 l 的最大值为 18 百米. 14 分
命题展望
从近五年的高考试题看，三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高考
的一个测重点，该类题目侧重于学生的双基，属送分题目.2017 年该点依然是命
题点应加强训练．
(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC＝6，cos B＝4
5
，C＝π
4.
(1)求 AB 的长；(2)求 cos A－π
6 的值．
[解] (1)因为 cos B＝4
5
，0