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- 2024-02-28 发布
2019-2020年复旦附中高三上10月月考
一.填空题
1.已知“角的终边在第一象限”，“”，则是的________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分非必要
【解析】
【分析】
根据得出角终边的位置，然后利用充分必要性判断出、之间的关系.
【详解】若，则角的终边在第一象限、轴正半轴或第二象限，
所以，是的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般利用集合的包含关系进行判断，转化条件如下：
（1），则“”是“”的充分不必要条件；
（2），则“”是“”的必要不充分条件；
（3），则“”是“”的充分必要条件；
（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件.
2.函数的反函数________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，得出，再由可解出，由此可得出函数的解析式，并标明定义域.
【详解】当时，，由，得，
因此，，故答案为：.
【点睛】本题考查反函数解析式的求解，还应注意求解原函数的值域，作为反函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.
3.记不等式的解集为，函数的定义域为，若，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
解出集合、，再由可得出实数的取值范围.
【详解】解不等式得，则，
由，得，则.
，所以，，因此，实数的取值范围是，故答案为：.
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围，同时也涉及了二次不等式的解法和对数函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
4.设为奇函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由奇函数的定义，结合对数的运算性质求出的值，然后对的值代入函数解析式进行检验，从而得出实数的值.
【详解】函数为奇函数，则，即，
即，即，所以，得，.
当时，函数的解析式中真数为，不合乎题意；
当时，，由，解得或，此时，函数的定义域为，关于原点对称，且满足，则函数为奇函数.故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，在利用函数奇偶性的定义求参数时，所得出的答案还应检验，以便舍去不合乎要求的答案，考查计算能力，属于中等题.
5.已知，则代数式的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
将代数式变形为，再利用基本不等式求出该代数式的最小值.
【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，代数式的最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，要注意对代数式进行配凑，同时注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.
6.已知集合，，则集合的子集个数为__.
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法求出集合，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.
详解】，，，
则集合有个元素，其子集个数为，故答案为：.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.已知，，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由得，所以，因为，所以，由得，所以．
考点：同角间的三角函数关系．
8.已知正数、满足，且，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】
由，得出，由得出解出的值，进而得出的值，从而得出的值.
【详解】，，由得出，
由换底公式可得，，可得或.
①当时，，此时，，则；
②当时，，此时，，则.
因此， 或，故答案为：或.
【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
9.已知函数的定义域是，则的值域是________.
【答案】
【解析】
【分析】
将函数的解析式变形为，然后分和两种情况讨论，利用不等式的性质求出函数的值域.
详解】.
①当时，，则，此时；
②当时，，则，此时.
因此，函数的值域为，故答案为：.
【点睛】本题考查分式型函数值域的求解，一般利用变量分离法结合不等式的性质进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
10.对于函数，若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数，下列函数：
①；②；③；④；
其中在上是有界函数的序号为________.
【答案】②
【解析】
【分析】
求出①②③④中各函数在上的值域，结合题中的定义进行判断即可.
【详解】对于①中的函数，当时，，该函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立；
对于②中的函数，当时，，又，，该函数在上的值域为，所以，存在正实数，当时，对于任意，都有；
对于③中的函数，当时，，，该函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立；
对于④中的函数，取，则，
，同理，取，，，所以，函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立.
综上所述：在上是有界函数的序号为②，故答案为：②.
【点睛】本题考查函数新定义“有界函数”的理解，解题的关键就是求出函数的值域，结合定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11.如图，在平面直角坐标系中，已知曲线、、依次为，，的图像，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点、，过点作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设点，其中，可求出点、的坐标，进一步求出点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式可求出实数的值.
【详解】设点，其中，设点、，则，
解得，所以，点、，则点的坐标为，
将点的坐标代入函数的解析式，得，，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点的坐标计算出点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
12.已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，利用题中定义可推出函数为奇函数，可得出函数
的图象关于点对称，从而得出函数的图象也关于点对称，由此可得出的值.
【详解】，，
构造函数，则，
令，可得，，令，则，
，所以，函数为奇函数，即，
所以，，得，
所以，，
则函数的图象关于点对称，则该函数最高点和最低点也会关于这个点对称，
因此，，故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的对称性求函数最值之和，解题的关键就是利用定义推导出函数的对称中心，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二.选择题
13.设，为正实数，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】因为，为正实数且，所以，所以；
若，即，两边同乘以，得，因为，为正实数，所以，所以。
即“”是“”成立的充要条件，故选C.
14.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，
如图：
则其外接球的半径为
球的表面积为；
故选B．
15.函数的定义域为［－1,1］，图象如图1所示，函数)的定义域为［－1,2］，图象如图 2 所示，若集合 A＝，B＝，则 AB中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
试题分析：由图可知，当时，，由得，，即，当时，，由得，，所以，即，故选C.
考点：1.函数的图象；2.复合函数求值；3.集合的表示与运算.
16.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.
【详解】当时，的最小值是
由知
当时，的最小值是
当时，的最小值是
要使，则，
解得：或
故选D.
【点睛】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.
三.解答题
17.在中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将等式两边平方，化为含的二次方程，求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值，再由，利用两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系可求出的值；
（2）由，可得出，利用余弦定理可求出和的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】（1）由题意可知，将等式两边平方得，
整理得，由于，解得.
，所以，.
由同角三角函数的基本关系得.
；
（2），，由余弦定理得，整理得，
解得，则，因此，的面积为.
【点睛】本题考查同角三角函数利用两角和的正弦公式求值，同时也考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
18.如图，四棱锥中，平面，，，，，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、
轴建立空间直角坐标系，计算出向量、，然后利用空间向量法计算出异面直线与所成角的余弦值；
（2）计算出平面的一个法向量，平面的一个法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.
【详解】（1）由题意可知，、、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易得，则点、、、.
，，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为；
（2）易知点、、、.
易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
，，
由，得，解得，令，则，，
所以，平面的一个法向量为，，
由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成的角以及二面角，解题的关键就是要建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为向量法来求解，考查计算能力，属于中等题.
19.某水域受到污染，水务部门决定往水中投放一种药剂来净化水质，已知每次投放质量为的药剂后，经过（）天，该药剂在水中释放的浓度（毫克升）为，其中，当药剂在水中释放浓度不低于（毫克升）时称为有效净化，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克升）且不高于（毫克升）时称为最佳净化.
（1）如果投放的药剂质量为，那么该水域达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为，为了使该水域天（从投放药剂算起，包括第天）之内都达到最佳净化，确定应该投放的药剂质量的值.
【答案】（1）天；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，且，可得出药剂在水中释放浓度的函数，因为函数为分段函数，分和解不等式，即可得出水域达到有效净化所持续的天数；
（2）求出关于的解析式，分区间讨论该函数的单调性，根据题意，只需函数在区间和上的值域均为的子集，由此列出不等式（组）解出实数的值.
【详解】（1），.
当时，恒成立；当时，令，解得.
所以，不等式的解为，因此，该水域达到有效净化一共可持续天；
（2）由题意知，，且.
当时，为增函数，且，由题意可得，
则有，解得；
当时，为减函数，且，由题意可得，
则，解得.
综上所述，.
【点睛】本题考查分段函数模型应用，同时也考查了分段函数不等式的求解，解题时要分区间讨论，然后将所得解集合并，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
20.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，其中是常数.
（1）求的解析式；
（2）求实数的值，使得函数，的最小值为；
（3）已知函数满足：对任何不小于的实数，都有，其中为不小于的正整数常数，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由函数是上的奇函数得出，可解出，再令，求出，利用奇函数的定义得出的表达式，从而得出函数在上的解析式；
（2）由题意得出，令，可得出，再分、、三种情况讨论，分析该二次函数在区间上的单调性，得出该二次函数的最小值为，求出的值；
（3）先求出，任取且，利用作差法证明出，由此得出，，，，再利用同向不等式的可加性可得出所证不等式成立.
【详解】（1）由于函数是上的奇函数，则，
那么，当时，.
当时，，，
.也适合.
因此，；
（2）当时，，
则，
令，则，
该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，此时，，解得，合乎题意；
②当时，即当时，函数在上取得最小值，即，整理得，解得，
均不符合题意；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，
此时，，不合乎题意.
综上所述，当时，函数在区间上最小值为；
（3）当时，.
当时，，则，
整理得，解得.
任取且，
，
且，，，所以，，
，，，，
上述不等式全部相加得.
【点睛】本题考查奇函数解析式的求解、二次函数在定区间上的最值以及不等式的证明，在求解二次函数在定区间上的最值时，要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21.若定义在上，且不恒为零函数满足：对于任意实数和，总有恒成立，则称为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；
（2）证明：函数为偶函数；
（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，设有理数、满足，判断和大小关系，并证明你的结论.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3），理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）令，可求出的值，令可求出的值；
（2）令，代入题中等式得出，可证明出函数为偶函数；
（3）令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可得出和的大小关系.
【详解】（1）令，，则有，，.
令，则有，所以，；
（2）令，可得，，
由于函数的定义域为，因此，函数为偶函数；
（3）时，，，
所以，，
令，即对任意的正整数有，
则，
所以，对于任意正整数，成立，
对任意的、且，则有成立，
、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，，
令，，，则、为正整数，
，，所以，，即，
函数为偶函数，，，.
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查抽象函数的奇偶性，考查解决抽象函数的常用方法——赋值法，考查不等式的证明方法——递推法，属于难题.