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- 2024-02-24 发布
广东省化州市2018年高考第二次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知（），其中为虚数单位，则（ ）
A． -1 B． 1 C． 2 D．-3
3.如图，正方形内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.已知，，与的夹角为，则（ ）
A． 2 B． 3 C. 4 D．5
5.已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． 7 B． C. D．
7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：，）
A． 12 B． 18 C. 24 D．32
8.在平面直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）内，设，（），则的最大值为（ ）
A． -1 B． 1 C. 2 D．3
9.已知函数的部分图像如图所示，且，，则（ ）
A． B． C. D．
10.已知有穷数列中，，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）
A． B． C. D．与的大小关系不确定
11.如图，正方体的棱长为1，中心为，，，则四面体的体积为（ ）
A． B． C. D．
12.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ．
14.在的展开式中，是第 项的二项式系数，第3项的系数是 ．
15.已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 ．
16.已知椭圆与直线，，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点，若为定值，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设三个内角所对应的边分别为，的面积满足.
（1）求角的值；
（2）求的取值范围.
18. 如图，在矩形中，，，是平面同一侧面点，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
19. 某石化集团获得了某地深海油田区块的开发权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：
（参考公式和计算结果：，，，）
（1）1～6号井位置线性分布，借助前5组数据（坐标）求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值；
（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的（，精确到0.01），设，，当均不超过10%时，使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.
20. 已知椭圆：的焦距为，设右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，线段的中点为，且.
（1）求弦的长；
（2）当直线的斜率，且直线时，交椭圆于，若点在第一象限，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.
21. 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为.
（1）当时，求函数的最值；
（2）试判断函数在区间的单调性；
（3）设，试证明：对于，若，则.
（参考公式：，当且仅当时等号成立）
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）设直线截圆的弦长等于半径长的倍，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDCBB 6-10: DCBCA 11、12：DA
二、填空题
13. 14. 3，84 15. 16.4
三、解答题
17. 解: （1）由余弦定理得
，
（2）
因为，所以， ，
所以.
18. （Ⅰ）∵四边形是矩形，
∴.∵，，故.
又，∴平面. ∵平面，
∴平面平面.
（Ⅱ）∵，，，∴，
∴，又，，
∴平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
∴ ，，
设平面的一个法向量，
由，得，
令，得.
同理可求得平面的一个法向量，
∴，
∴。
故二面角的正弦值为.
19. （1）因为， .
回归直线必过样本中心点，则.
故回归直线方程为，
当时， ，即的预报值为24.
（2）因为， ， ， ，
所以 ，
，
即， ， ， .， ，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井.
（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，
所以勘察优质井数的可能取值为2，3，4，
， ，
.
X
2
3
4
P
20. （1）因为椭圆： 的焦距为，则，
设，则， ， ，
，则，所以的长为.
（2）因为直线的斜率时，且直线，所以，
设， ，
∴由（1）知， ，所以，又半焦距为，
所以椭圆，
得，
设，则， ，
设直线的斜率分别为，则， ，那么
，
所以直线与轴围成一个等腰三角形.
21. 当时，方程的两实根为
，
当时，，在为单调递增函数，
的最小值为，的最大值为；
（2）
由题知：时，所以，
在区间为单调递增函数；
（3）由（2）知，
又由题得：，
∴
所以
由于等号不能同时成立，故得证．
22. （1）圆的直角坐标方程为；
直线的普通方程为．
（2）圆，直线，
∵直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，
∴圆心到直线的距离，
解得或．
23. 解：（1）当时，由得，两边平方整理得
，解得
所以原不等式的解集为
（2）由得，令，则，作出函数的图像，得
从而实数的取值范围为