突破19 宇宙速度的理解与计算 卫星运行参量的分析与比较-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破 8页

突破 19 宇宙速度的理解与计算 卫星运行参量的分析与比较 一、三种宇宙速度的理解与定性分析 1．环绕速度 (1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为 7.9 km/s。 (2)特点： ①第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。 ②第一宇宙速度是人造卫星最大的环绕速度。 (3)第一宇宙速度的计算方法： ①由 G MmR2 ＝m v2R 得 v＝ GMR 。 ②mg＝m v2R 得 v＝。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)。 (2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s 时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s 时，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v 发≥16.7 km/s 时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 【典例 1】某颗人造地球卫星离地面的高度是地球半径的 n 倍，那么该卫星运行速度是 地球第一宇宙速度的( ) A．n 倍 B. 1n C. 1n＋1 D. 1n＋1 【答案】D 【典例 2】使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小 速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度 v2 与第一宇宙速度 v1 的关系是 v2＝ v1。已知 某星球的半径为地球半径 R 的 4 倍，质量为地球质量 M 的 2 倍，地球表面重力加速度为 g。 不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A. 1gR B. 12 C. D. 1gR 【答案】 C 【跟踪短训】 1. 物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度 v2 与第一宇 宙速度 v1 的关系是 v2＝v1。已知某星球半径是地球半径 R 的1 3，其表面的重力加速度是地球 表面重力加速度 g 的1 6，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A. B. 1 3 C. 1 6 D. 【答案】B 【解析】设某星球的质量为 M，半径为 r，绕其飞行的卫星质量为 m，根据万有引力提 供向心力，可得 G Mm r2 ＝m1，解得：v1＝ GM r ，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加 速度 g 的1 6，可得 G Mm r2 ＝m g 6，又 r＝1 3R 和 v2＝v1，解得：v2＝1 3，所以正确选项为 B。 2. (多选)在太阳系中有一颗半径为 R 的行星，若在该行星表面以初速度 v0 竖直向上抛出 一物体，上升的最大高度为 H，已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽 略不计。根据这些条件，可以求出的物理量是( ) A．太阳的密度 B．该行星的第一宇宙速度 C．该行星绕太阳运行的周期 D．卫星绕该行星运行的最小周期 【答案】BD 【解析】由 v 2 0 ＝2gH，得该行星表面的重力加速度 g＝0 根据 mg＝m v2 R ＝m 4π2 T2 R，解得该行星的第一宇宙速度 v＝ R 2H，卫星绕该行星运行的最 小周 期 T＝ 2 0 ，所以 B、D 正确；因不知道行星绕太阳运动的任何量，故不能算太阳的密度 和该行星绕太阳运动的周期，所以 A、C 错误。 3. 宇航员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面 h 高度处由静止释放，使其做自 由落体运动，经过时间 t 后小球到达星球表面，已知该星球的半径为 R，引力常量为 G，则 下列选项正确的是( ) A．该星球的质量为 2hR2Gt2 B．该星球表面的重力加速度为 h2t2 C．该星球的第一宇宙速度为 2hRt2 D．通过以上数据无法确定该星球的密度 【答案】A 二、卫星运行参量的比较与计算 1.在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心 力由万有引力提供.其基本关系式为 G Mm r2＝m v2 r ＝mω2r＝m( 2π T )2r＝m(2πf)2r. 在天体表面，忽略自转的情况下有 G Mm R2＝mg. 2.卫星的绕行速度 v、角速度ω、周期 T 与轨道半径 r 的关系 (1)由 G Mm r2＝m v2 r ，得 v＝ GM r ，则 r 越大，v 越小. (2)由 G Mm r2＝mω2r，得ω＝ GM r3，则 r 越大，ω越小. (3)由 G Mm r2＝m 4π2 T2 r，得 T＝ 4π2r3 GM ，则 r 越大，T 越大. 2．赤道上物体做圆周运动的规律 赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心 力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度 与同步卫星相等。 【典例 1】如图所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高 度分别是 R 和 2R(R 为地球半径)．下列说法中正确的是( ) A．a、b 的线速度大小之比是∶1 B．a、b 的周期之比是 1∶2 C．a、b 的角速度大小之比是 3：4 D．a、b 的向心加速度大小之比是 9∶4 【答案】CD 【典例 2】科学家预测银河系中所有行星的数量大概在 2～3 万亿之间。目前在银河系 发现一颗类地行星，半径是地球半径的两倍，质量是地球质量的三倍。卫星 a、b 分别绕地 球、类地行星做匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半径。则卫星 a、 b 的( ) A．线速度之比为 1∶ B．角速度之比为 3∶2 C．周期之比为 2∶ D．加速度之比为 4∶3 【答案】B 【解析】 设地球的半径为 R，质量为 M，则类地行星的半径为 2R，质量为 3M，卫星 a 的运动半径为 Ra＝2R，卫星 b 的运动半径为 Rb＝3R，万有引力充当向心力，根据公式 G Mmr2 ＝m v2r ，可得 va＝ GM2R ，vb＝ GMR ，故线速度之比为 1∶，A 错误；根据公式 G Mmr2 ＝mω2r， 可得ωa＝ GM(2R)3，ωb＝ 3GM(3R)3，故角速度之比为 3∶2，根据 T＝ 2πω，可得周期之比为 2∶3， B 正确，C 错误；根据公式 G Mmr2 ＝ma，可得 aa＝ GM(2R)2，ab＝ 3GM(3R)2，故加速度之比为 3∶4， D 错误。 【跟踪短训】 1. (多选)如图所示，两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动，用 R、T、Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式 正确的有( ) A.TA>TB B.EkA>EkB C.SA＝SB D. 2 A ＝ 2 B 【答案】 AD 【解析】由 GMm R2 ＝ mv2 R ＝m 4π2 T2 R 和 Ek＝ 1 2mv2 可得 T＝2π R3 GM，Ek＝ GMm 2R ，因 RA>RB，则 TA>TB， EkA