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- 2024-02-20 发布
高二年级10月份阶段检测
数学试题
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.在x轴上的截距为2且倾斜角为135°，k=﹣1的直线方程为（ ）
A．y=﹣x+2 B．y=﹣x﹣2 C．y=x+2 D．y=x﹣2
2. ，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． 共面 D． 共点 共面
3. 如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
4.轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（ ）
A． B．
C． D．
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
仰视图
主视图
B．12
C．
俯视图
D．8
6. 函数y=﹣的最大值是（ ）
A．2 B．10 C． D．0
7. 已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线m过P（1，1），且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
8. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC
体积的最大值为，则球O的体积为（ ）
A．81π B．128π C．144π D．288π
9. 一个正方体纸盒展开后如右图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF； ②AB与CM成60°的角； ③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是( )
A．①② B．③④
C．②③ D．①③
10. 已知α，β为两个不同平面，m，n为两条不同直线，以下说法正确的是（ ）
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，则n⊥β D．若m丄n，m∥α，则n⊥α
11. 点在以为顶点的的内部运动（不包含边界)则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
12. 如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 设长方体的长宽高分别为2a, a, a, 其中顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 .
14一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为 ．
15. 如右图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中
A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积是
16.某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为 cm3．
三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，18—22题，每小题12分，共70分）
17. (1)求证：三点共线.
（2）若三点共线，求的值.
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．
19. （1）直线L过两点且，求实数a的值.
（2）已知经过两点的直线的斜率大于1，求实数的取值范围.
20. 如图所示，在原点解为中，为上一点，是的中点，平面.
求证：（1）
(2)是的中点.
21. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．如图将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求证：BM⊥平面ADM；
（Ⅱ）若点E是线段DB上的中点，求三棱锥E﹣ABM的体积V1与四棱锥D﹣ABCM的体积V2之比．
22.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．
（1）证明：直线BD⊥平面MAC；
（2）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．
高二年级10月份阶段检测
数学试题·答案
1. A【解答】解：根据题意得：直线斜率为tan135°=﹣1，直线过（2，0），
则直线方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即y=﹣x+2．
故选A
2. B【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；
对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；
对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；
对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．
故选B．
3. D【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角
形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，
所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．
由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1
故选D．
4. C
5. A【解答】解：由三视图可得原几何体如图，
AB=BC=BE=DF=2，
则△AEC与△AFC边AC上的高为，
∴该几何体的表面积为S==．
故选：A．
6. A【解答】解：函数y=﹣
=﹣，
表示x轴上的一点P（x，0）与点A（2，3）和B（0，1）的距离之差，
如图，连接AB延长交x轴于P，
由kAB=kAP=1，可得P（﹣1，0）．
|PA|﹣|PB|≤|AB|，
由|AB|==2，
故最大值为2．
故选A．
7. A【解答】解：根据题意，直线m过P（1，1），设直线m的方程为y﹣1=k（x﹣1），
即y﹣kx+k﹣1=0，
若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，
则有[（﹣3）﹣2k+k﹣1][（﹣2）﹣（﹣3）k+k﹣1]≤0，
解可得：k≥或k≤﹣4；
故选：A．
8. D【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=，故R=6，
则球O的体积为πR3=288π，
故选D．
9.D【来源：全,品…中&高*考+网】
10.C【解答】解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或者异面；故A错误；
对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或者m⊂α；故B 错误；
对于C，若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，根据面面垂直的性质以及线面平行的性质定理可判断n⊥β；故C正确；
对于D，若m丄n，m∥α，则n与α位置关系不确定；故D错误；
故选C．
11.D
【解答】解：不妨设这个棱台为三棱台，设棱台的高为2h，上部三棱锥的高为a，
则根据相似比的性质，得：
，
解得=+．
故选：A．
12. D
13.
14. 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，
∴圆锥的母线长为3r，
又∵圆锥的表面积为π，
∴πr（r+3r）=π，
解得：r=，l=，
故圆锥的高h==，
故答案为：．
15.
16.288π
【解答】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，
纬圆半径是：3cm，
地球仪的半径是：6cm；
地球仪的体积是：π×63=288cm3，
故答案为：288π．
17. (1)证明∵
∴…………2分
∴又直线AB与AC有公共点A…………4分
直线AB与直线AC为同一条直线即A、B、C设共线……5分
（2）题意得直线AB, AC的斜率都存在…… 6分
∵A, Ｂ, C三点共线
∴即 …………8分
∴ …………10分
18. 【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD CDC平面ABCD
∴PA⊥CD【来源：全,品…中&高*考+网】
又∵AB⊥AD，AB∥CD，
∴CD⊥AD 又在平面PAD中PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD…………4分
又CD⊂平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD ……6分
（2）解：当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD …………7分
证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF
易得EF是△PCD的中位线
∴EF∥CD，EF=CD
由题设可得 AB∥CD，AF=CD
∴EF∥AB，EF=AB
∴四边形ABEF为平行四边形
∴BE∥AF ……………………10分
又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD
∴BE∥平面PAD ………………12分
19. (1) ………………3分
∴ …………6分
（2） …………8分
∴ …………10分
∴ …………12分
20.（1）四边形为正方形 ∴
又∵平面 ∴
∵ ∴平面 ……4分
又∵平面 ∴ 6分
（2）连接，在中，
∴
∴
又 …………8分
∴四边形为平行四边形
∴ ∵
为的中点 ……………12分
21. 【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点，
所以，所以AM2+BM2=AB2，所以BM⊥AM．…………（3分）
因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
又BM⊂平面ABCM，且BM⊥AM，
∴BM⊥平面ADM． ……………………（6分）【来源：全,品…中&高*考+网】
解：（Ⅱ）因为E为DB的中点，所以，………………（8分）
又直角三角形ABM的面积，
梯形ABCM的面积，
所以，且，……………………（11分）
所以．……………………（12分）
22. 【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，
∴AD⊥平面MAB，
又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，
又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD， ………………4分
又BD⊂平面ABCD，
∴MA⊥BD．
又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，
∴BD⊥平面MAC. ……………………6分
（Ⅱ）设四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，
则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，
∴h=，…………………………8分【来源：全,品…中&高*考+网】
故该组合体的体积为V==．…………12分