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- 2024-02-16 发布
白城一中2018-2019学年度下学期期末考试
高二数学（文）试卷
命题人：夏延勋
一、选择题：
1.已知集合，，则 （ ）
2. 在极坐标系中，在极轴上与点距离最近的点的坐标为 （ ）
3.曲线 ，曲线上点对应参数分别为，则的面积是 （ ）
4.已知的解集是，则函数的大致图像是 （ ）
5. 已知函数， 则满足的的值为 （ ）
6. 已知命题的否定为
“若,则”的否命题是真命题；
则是的充要条件；
下列复合命题中真命题是 （ ）
7.下列命题中所有真命题的序号 （ ）
①两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近1；
②回归直线一定经过样本点的中心；
③ 线性回归方程，则当样本数据中时必有相应的；
④回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小。
① ② ③ ① ② ④ ③ ④ ② ④
8. ，恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
9. 已知满足，则等式成立时实数的范围是 （ ）
10.，且则的大小
关系是 （ ）
11.定义在上的奇函数，时，，在上值域为则实数的范围是 （ ）
12.函数满足，时，，上时，恰有个不同解，则实数的范围是 （ ）
二、填空题：
13. 某高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽取13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是 __________________.
14.在长宽分别为的矩形纸上，有一个形状不规则的图形，为了计算其面积，向纸上均匀撒一把豆粒（100粒），数得这个图形上恰有84粒豆子，则这个图形的面积约为
__________ .
15.函数，则满足的实数的取值范围是_____________.
16.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，时，则的斜率的绝对值为_______________.
三、解答题：
17.（10分）
（I）求曲线过点的切线方程。
（II）已知 曲线在点处的切线与曲线相切，求的值；
18.（12分）
椭圆在伸缩变换下变为单位圆
（I）求在变换下，直线变换后的方程；
（II）若已知在同一伸缩变换下直线与曲线的位置关系保持不变，那么中直线与椭圆相切时求的值。
19.（12分）
某校倡导为贫困生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：
售出水量（单位：箱）
7
6
6
5
6
收入（单位：元）
165
142
148
125
150
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核排前20名，获一等奖学金500元，综合考核排第21～50名，获二等奖学金300元，综合考核排50名以后的不获得奖学金。
（I）若与呈线性相关，则某天售出8箱水时，预计收入为多少元？
（II）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1200元的概率。
附：回归方程，其中，
20.（12分）
分组
累积频率
0.04
0.10
0.32
0.60
0.82
1
进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了，学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼，某中学高三（3）班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下累积频率分布表
（I）求全班学生周平均体育锻炼的时间的估计值；
（II）用频率代替概率，从全班同学中任取2人，求这2人周平均锻炼时间分别在，内的概率；
（III）现全班学生中有40％是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，有没有90％的把握说明经常锻炼与否与性别有关？
附
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
21.（12分）
曲线，曲线，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
（I）求曲线 ，的极坐标方程；
（II）射线与曲线 ，分别交于两点（均异于原点），求的最小值。
22.（12分）
已知函数
（I） 时，求的单调区间；
（II）若存在递减区间，求实数的取值范围。
白城一中2018-2019学年度下学期期中考试
高二数学（文）试题参考答案
一、 选择题： BACCA ADADB CB
二、 填空题：13. 14. 15. 16.
三、 解答题：
17. （10分）
解：（ I） 设切点为 切线斜率为
因为切线过点，所以 又 解得 所以
所以 切线方程为 ————————————————————————————————5分
（II） 曲线在点处的斜率为
所以，曲线在点处的切线方程为 ————————————————7分
联立 消去得
解得：
所以 的值为 —————————————————————————————10分
18. （12分）
解：（I）由已知 所以 代入得
所以在变换下，直线变换后的方程为 ————————6分
（II）由已知在同一伸缩变换下直线与曲线的位置关系保持不变，所以中直线与椭圆相切时，与也相切，所以 解得 ————————————————12分
19.（12分）
解：（I） ，
——————————4分
当时，
即某天售出8箱水时，预计收入为186元.———————————————6分
（II）用、、依次表示甲、乙、丙获 等奖，则所有的获奖可能情况有：
三人获得奖学金之和分别为1500，1300，1300, 1100，1300, 1100, 1100, 900（单位：元）故所求事件概率为
————————————12分
20.（12分）
解：（I）由累积频率分布表可知各组的频率依次为：0.04，0.06,0.22,0.28,0.22,0.18
全班学生周平均体育锻炼的时间为
——————4分
（II） ——————————————————8分
（III）由已知可知，不超过四小时的人数为人，其中女生有3人，所以男生有2人，
所以，经常锻炼的女生有％人，男生有有％人
所以， 列联表为
男生
女生
合计
经常锻炼
28
17
45
不经常锻炼
2
3
5
合计
30
20
50
所以，
所以，没有90％的把握说明经常锻炼与否与性别有关。———————————————12分
21.（12分） 解：（I） 即
即 ———-6分
（II）设， 则
， ————————8分
所以
当且仅当 时，取等号
所以 的最小值为。—————————————————12分
22.（12分）
解： （I） 时，
由 得 由得
所以 的单调增区间为 ，的单调减区间为 ————4分
（II）
函数存在单调递减区间，即定义域内存在区间使，
等价于—————————————————————————————8分
设 即求在 上的最大值
令 得
所以 在上为增函数，在上为减函数，
所以 当时，函数取得最大值，此时，所以—————12分