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- 2024-02-15 发布
2016-2017学年福建省福州外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，，若，则m=（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
2．已知数列{bn}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（ ）
A．16 B．8 C．2 D．4
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”
4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
5．若能把单位圆O：x2+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“完美函数”，下列函数不是圆O的“完美函数”的是（ ）
A．f（x）=4x3+x B． C． D．f（x）=ex+e﹣x
6．设f（x）=cosx﹣sinx，把f（x）的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x）的图象，则m的值可以为（ ）
A． B．π C．π D．
7．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．①④③② B．③④②① C．④①②③ D．①④②③
8．数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，则log2（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．定义在R上的函数f（x），已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有，则下列结论正确的是（ ）
A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．
C． D．
10．已知函数f（x）=cos，根据下列框图，输出S的值为（ ）
A．670 B．670 C．671 D．672
11．函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
12．已知函数若关于x的函数y=[f（x）]2﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）
A．（2，8） B． C． D．（2，8]
二、填空题
13.已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为 ．
14．已知向量与向量的夹角为120°，若且，则在上的投影为 ．
15．若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是 ．
16．在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知函数的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，Tn=b1+b2+…bn，求证：Tn＜3．
18．（12分）已知函数f（x）=2的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，且f（x）的最大值为1．
（1）x∈[0，π]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣m在上有零点，求实数m的取值范围．
19．（12分）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，
（1）若a=2且（2+b）•（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，求△ABC面积S的最大值
（2）△ABC为锐角三角形，且B=2C，若=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），求|3﹣2|2的取值范围．
20．（12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．
（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．
（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；
（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年福建省福州外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，，若，则m=（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】根据两向量垂直数量积为0，列出方程求解即可．
【解答】解：∵，，且，
∴•=m+2=0
解得m=﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了两向量垂直数量积为0的应用问题，是基础题目．
2．已知数列{bn}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（ ）
A．16 B．8 C．2 D．4
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解：∵b9是1和3的等差中项，∴2b9=1+3，∴b9=2．
由等比数列{bn}的性质可得：b2b16==4，
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”
【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；复合命题的真假；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；“”⇒“+2kπ，或，k∈Z”，“”⇒“”，故“”是“”的必要不充分条件；命题“∀x∈R，2X＞0”的否定是“∃”．
【解答】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；
命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；
“”⇒“+2kπ，或，k∈Z”，
“”⇒“”，
故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；
命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．
故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】对于①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立；
对于②可以看成m是平面α的法向量，n是平面β的法向量即可；
对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；
对于④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交．
【解答】解：①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立，所以错误；
②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；
③因为m∥α，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；
④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交，如图所示，，所以错误，
故选B．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键．
5．若能把单位圆O：x2+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“完美函数”，下列函数不是圆O的“完美函数”的是（ ）
A．f（x）=4x3+x B． C． D．f（x）=ex+e﹣x
【考点】函数的图象．
【分析】由圆O的“和谐函数”的定义，我们易分析出满足条件的函数f（x）是图象经过原点的奇函数，逐一分析四个函数的奇偶性，可得答案．
【解答】解：若函数f（x）是圆O的“和谐函数”，
则函数f（x）的图象经过圆心，且函数f（x）的图象关于圆心对称．
由圆O：x2+y2=1的圆心为坐标原点，
故满足条件的函数f（x）是图象经过原点的奇函数．
由于A中f（x）=4x3+x，B中f（x）=ln，C中f（x）=tan，都是奇函数，且经过原点，
故它们都是“和谐函数”．
D中f（x）=ex+e﹣x为奇函数，但由于它的图象不经过原点，故它不是“和谐函数”，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，其中根据新定义圆O的“和谐函数”判断出满足条件的函数为过原点的奇函数，是解答的关键，属于中档题．
6．设f（x）=cosx﹣sinx，把f（x）的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x）的图象，则m的值可以为（ ）
A． B．π C．π D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的乘法与除法法则．
【分析】先求函数的导数，利用三角函数的平移关系，利用辅助角公式进行化简即可得到结论．
【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣sinx﹣cosx，
则y=﹣f′（x）=sinx+cosx=cos（x﹣），
f（x）的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，得到y=cos（x﹣m）﹣sin（x﹣m）=cos（x﹣m+），
则当﹣m+=﹣时，即m=时，满足条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数图象的变化关系，求函数的导数，结合辅助角公式进行化简是解决本题的关键．
7．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．①④③② B．③④②① C．④①②③ D．①④②③
【考点】函数的图象．
【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【解答】解：根据①y=x•sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；
根据②y=x•cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数，
在（，π）上的值为负数，故第三个图象满足；
根据③y=x•|cosx|为奇函数，当x＞0时，f（x）≥0，故第四个图象满足；
④y=x•2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．
8．数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，则log2（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】利用导数研究函数的极值；等差数列的性质．
【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．
【解答】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，
∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，
∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．
数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an，
可知{an}为等差数列，
∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，
从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．
故选：C．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．
9．定义在R上的函数f（x），已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有，则下列结论正确的是（ ）
A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．
C． D．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据图象平移以及对称轴可以得出函数y=f（x）是偶函数，再根据单调性的定义得出f（x）在（﹣∞，0）上是单调减函数，由偶函数的性质得出f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，利用指数对数函数的单调性即可得出f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．
【解答】解：∵y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴y=f（x+1）的对称轴x=﹣1向右平移1个单位可得y=f（x）的对称轴x=0，
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数；
又对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有，
则f（x）在（﹣∞，0）上是单调减函数，
所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
∵0＜0.32＜1＜20.3＜2＜log25＜3
∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．
故选：A．
【点评】本题考查了图象平移以及偶函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数、对数函数的单调性问题，是综合性题目．
10．已知函数f（x）=cos，根据下列框图，输出S的值为（ ）
A．670 B．670 C．671 D．672
【考点】程序框图．
【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n值，再根据余弦函数的周期性计算，
【解答】解：由程序框图知：第一次运行f（1）=cos=，S=0+．n=1+1=2；
第二次运行f（2）=cos=﹣，S=，n=2+1=3，
第三次运行f（3）=cosπ=﹣1，S=，n=3+1=4，
第四次运行f（4）=cos=﹣，S=，n=4+1=5，
第五次运行f（5）=cos=，S=1，n=6，
第六次运行f（6）=cos2π=1，S=2，n=7，
…
直到n=2016时，程序运行终止，
∵函数y=cos是以6为周期的周期函数，2015=6×335+5，
又f（2016）=cos336π=cos（2π×138）=1，
∴若程序运行2016次时，输出S=2×336=672，
∴程序运行2015次时，输出S=336×2﹣1=671．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．
11．函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】构造函数F（x）=，由函数的单调性和奇偶性可得原不等式等价于或，结合图象可得．
【解答】解：构造函数F（x）=，则F（x）为偶函数且x≠0，
求导数可得F′（x）==，
∵当x＞0时，xg（x）﹣f（x）＜0，∴F′（x）＜0，
∴函数F（x）在（0，+∞）单调递减，
由函数为偶函数可得F（x）在（﹣∞，0）单调递增，
由f（1）=0可得F（1）=0，
∴f（x）＜0等价于xF（x）＜0
等价于或，
解得x∈（1﹣，0）∪（1，+∞）
故选：D
【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键，属中档题．
12．已知函数若关于x的函数y=[f（x）]2﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）
A．（2，8） B． C． D．（2，8]
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象；函数零点的判定定理．
【分析】方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的k在开区间（0，4]时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案．
【解答】解：∵函数作出f（x）的简图，如图所示：
由图象可得当f（x）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应．
再结合题中函数y=f2（x）﹣bf（x）+1 有8个不同的零点，
可得关于k的方程 k2 ﹣bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2，且0＜k1≤4，0＜k2≤4．
∴应有，解得 2＜b≤，
故选：C．
【点评】
本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．
二、填空题
13.已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为 或 ．
【考点】椭圆的简单性质；等比数列的性质；双曲线的简单性质．
【分析】利用等比数列的性质求出m，然后利用椭圆以及双曲线的性质求出离心率即可．
【解答】解：实数1，m，4构成一个等比数列，可得m=±2，
m=2时，圆锥曲线+y2=1，它的离心率为：e==．
m=﹣2时，圆锥曲线y2﹣=1，它的离心率为：e==．
故答案为：或．
【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，等比数列的性质的应用，考查计算能力．
14．已知向量与向量的夹角为120°，若且，则在上的投影为 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求．
【解答】解：因为向量与向量的夹角为120°，
所以在上的投影为，
问题转化为求，
因为，
故，
所以在上的投影为．
故答案为：．
【点评】本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
15．若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是 （3，6） ．
【考点】简单线性规划的应用；函数零点的判定定理．
【分析】由题意可得，画出可行域，如图所示，目标函数z=2+，表示2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合求得的范围，可得z的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）
内各有一个零点，
∴，即，画出可行域，
如图所示：表示△ABC的内部区域，
其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．
目标函数z=2+，即2加上点（a，b）与点M（0，4）
连线的斜率．
数形结合可得，的最小值趋于 KAM==1，
的最大值趋于 KBM==4，
故z的最小值趋于2+1=3，最大值趋于2+4=6，
故答案为（3，6）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，简单的线性规划，斜率公式，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．
16．在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是 （1，] ．
【考点】正弦定理．
【分析】根据勾股定理和三角形面积公式，将化为关于a、b的表达式，利用基本不等式可得＞1．再设=t，则可将表示成关于t的函数f（t），研究f（t）的单调性得到在区间（0，）上f（t）是增函数，从而得到f（t）的最大值是f（）=．由此即可得到的取值范围．
【解答】解：∵直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，
∴斜边c=，斜边上的高h==，
因此， =
∵≥=，≤1
∴＞1（等号取不到），即
又=+•
设=t，则=， =
可得f（t）=+，（0＜t）
∵在区间（0，）上f'（t）＞0，
∴f（t）在区间（0，）上是增函数，可得当0＜t时，f（t）的最大值为f（）=
综上所述，的取值范围是（1，]
故答案为：（1，]
【点评】本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函数的单调性等知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知函数的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，Tn=b1+b2+…bn，求证：Tn＜3．
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列与函数的综合．
【分析】（1）根据条件建立方程组关系，求出a，b，结合指数和对数的运算性质即可求数列{an}的通项公式；
（2）求出bn=的通项公式，利用错位相减法求出Tn=b1+b2+…bn
，根据不等式的性质即可证明Tn＜3．
【解答】解：（1）∵f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），
∴，即，得，
则f（x）=log3（2x﹣1），
则数列{an}的通项公式an=3f（n）==2n﹣1，n∈N*；
（2）bn==，
Tn=b1+b2+…bn=+++…+①，
Tn=+…+++②，
①﹣②得Tn=+++…+﹣=+（++…+）﹣=﹣﹣，
∴Tn=3﹣﹣=3﹣＜3．
即Tn＜3．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列求和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．
18．（12分）（2015秋•淮北校级期中）已知函数f（x）=2的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，且f（x）的最大值为1．
（1）x∈[0，π]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移
个单位，得到函数g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣m在上有零点，求实数m的取值范围．
【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）由条件利用查三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值以及单调性求得ω和a的值，再根据正弦函数的单调性求得函数在[0，π]上的增区间．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的值域，可得m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=2=sin（2ωx+）+sin2ωx+a
=cos2ωx+sin2ωx+a=2sin（2ωx+）+a，
它的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，故=π，ω=1．
再根据f（x）的最大值为2+a=1，故 a=﹣1，f（x）=2sin（2x+）﹣1．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数在[0，π]上的增区间为[0，]、[，π]．
（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]﹣1=2sin（2x+）﹣1的图象，
在上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数g（x）取得最小值为﹣2﹣1=﹣3；
当2x+=时，函数g（x）取得最大值为﹣1．
若函数y=g（x）﹣m在上有零点，求实数m的取值范围为[﹣3，﹣1]．
【点评】本题中主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
19．（12分）（2015秋•淮北校级期中）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，
（1）若a=2且（2+b）•（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，求△ABC面积S的最大值
（2）△ABC为锐角三角形，且B=2C，若=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），求|3﹣2|2的取值范围．
【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理可将已知条件化成a2﹣b2=c2﹣bc，再用余弦定理得出A，利用余弦定理和基本不等式可得出bc≤4，带入面积公式S△ABC=bcsinA即可就出最大值．
（2）展开得|3﹣2|2=13﹣12sinC，然后利用△ABC为锐角三角形，且B=2C判断C的范围．
【解答】解：（1）∵（2+b）•（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，
∴（2+b）•（a﹣b）=（c﹣b）c，
∵a=2，
∴（a+b）•（a﹣b）=（c﹣b）c，
即a2﹣b2=c2﹣bc，
∴bc=b2+c2﹣a2．
∴cosA==．
∴A=．
∵a2=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2﹣bc≥bc，
∴bc≤a2=4．
∴S△ABC=bcsinA=≤．当且仅当b=c时取等号．
∴△ABC的面积最大值为．
（2）∵=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），
∴=1， =1， =sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC．
∴|3﹣2|2=9﹣12+4=13﹣12sinC．
∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜，0＜B＜，0＜C＜．
∵B=2C，A+B+C=π，
∴C=
∴＜C＜．
∴＜sinC＜．
∴13﹣6＜13﹣12sinC＜7．
∴|3﹣2|2的取值范围是（13﹣6，7）．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，向量运算及三角函数，属于中档题．
20．（12分）（2015春•沈阳校级期末）为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．
（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．
【考点】函数最值的应用．
【分析】（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）当x∈[30，50]时，设该工厂获利为S，则S=20x﹣（x2﹣40x+1600）=﹣（x﹣30）2﹣700
所以当x∈[30，50]时，S＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，才能使工厂不亏损
（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
①当x∈[10，30）时，P（x）=，∴P′（x）==
∴x∈[10，20）时，P′（x）＜0，P（x）为减函数；x∈（20，30）时，P′（x）＞0，P（x）为增函数，
∴x=20时，P（x）取得最小值，即P（20）=48；
②当x∈[30，50]时，P（x）=﹣40≥﹣40=40
当且仅当x=，即x=40∈[30，50]时，P（x）取得最小值P（40）=40
∵48＞40，
∴当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．
【点评】本题考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，正确运用求函数最值的方法是关键．
21．（12分）（2015•淮安一模）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．
（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；
（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；
（2）构造函数F（x）=f（x）﹣ax+
1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，
（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，
∴a=2，且x＞0．
∴f（x）=lnx﹣x2+x，
∴=，
当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，
∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．
（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则
F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，
当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣＞0，不符合题意，
当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，
令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，
又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，
∴符合题意的整数a的最小值为2．
（3）∵a=﹣2，
∴f（x）=lnx+x2+x，
∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2
=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2
令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，
∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）max=g（1）=﹣1，
∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，
即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，
又∵x1，x2是正实数，
∴x1+x2≥．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2015秋•淮北校级期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为=0，把代入即可得出，由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ，代入化为直角坐标方程．
（2）联立，解出再化为极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为．
【解答】解；（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为=0，
把代入可得： =0，
由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ，化为x2+y2﹣4x=0．
（2）联立，解得或，
∴直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为，．
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、直线与曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2016•福建校级模拟）设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（1）当a=1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．
【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，
等价于①，或②，或③．
解①求得 x无解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，
综上，不等式的解集为{x|0≤x≤}．
（2）由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣