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- 2024-02-06 发布
余姚中学 2019 学年第一学期期中考试高一数学试卷
一、选择题
1.若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由 知 ，故选
考点：集合的交集．
2.函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.
【 详 解 】 因 为 为 增 函 数 , 且 ,
根据零点存在性定理知 的零点在区间 内.
故选：B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.
3.已知定义在 上的奇函数 的图象与 轴交点的横坐标分别为 、 、 、 、
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
{ }| 0A x x= ≥ B
{ }1,2 { }| 1x x ≤ { }1,0,1− R
A B B∩ = B A⊆ A
( ) ln 2f x x x+ −=
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
( ) ln 2f x x x+ −=
( ) ln 2f x x x+ −= ( )1 ln1 1 2 1 0f + − = − <=
( )2 ln 2 2 2 ln 2 0f + − = >=
( ) ln 2f x x x+ −= ( )1,2
R ( )f x x 1x 2x 3x
2019x 1 2 3 2019x x x x m+ + + + = ( )23 2 1x m x m− + − ≤
1 ,13
−
[ ]0,3 ( ),0−∞ ∅
设 ，利用奇函数关于原点对称，得出函数 与 轴 交点也
关于原点对称，得出 ，再将 代入不等式解出即可.
【详解】由于函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
设 ，则函数 与 轴的交点关于原点对称，
则 ，所以 ，
不等式 ，即为 ，解得 ，
因此，不等式 的解集为 ，故选：A.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就
是利用奇偶性求出零点之和，考查计算能力，属于中等题.
4.函数 的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中函数知，当 x＝0 时，y＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，
根据此两点可得答案．
【详解】观察四个图的不同发现，A、C、D 图中的图象过原点，
而当 x＝0 时，y＝0，故排除 B；又由定义域可知 x<1,排除 D．
又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除 A．
故选：C．
【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属
的1 2 3 2019x x x x< < < < ( )y f x= x
0m = 0m =
( )y f x= R ( )0 0f =
1 2 3 2019x x x x< < < < ( )y f x= x
( )2020 0 1,2,3, ,2019i ix x i−+ = = 1 2 3 2019 0m x x x x= + + + + =
( )23 2 1x m x m− + − ≤ 23 2 1 0x x− − ≤ 1 13 x− ≤ ≤
( )23 2 1x m x m− + − ≤ 1 ,13
−
2( ) log (1 )f x x= −
于基础题.
5.已知幂函数 在 上单调递减，若 ，
， ，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数 为幂函数，并结合已知条件求出实数 的值，再利用指数函数 的单
调性得出 、 、 的大小关系.
【详解】由于函数 幂函数，且在 上单调递减，
则 ，解得 ，
， ， ，
由于指数函数 在 上为增函数，因此， ，故选：B.
【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指
数幂的大小关系，在比较指数幂的大小关系时，常用以下几种方法：
（1）底数相同时，利用同底数的指数函数单调性比较；
（2）指数相同时，利用同指数的幂函数的单调性比较；
（3）底数不同，指数也不同时，可利用中间值法来比较.
6.下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
为
( ) ( ) ( )2 5 mf x m m x m Z= − − ∈ ( )0, ∞+ 62
2
m
a
− =
1
2
2
m
b
− =
1
2
m
c
− =
b a c< < c b a< <
c a b< < b c a< <
( )y f x= m 2xy =
a b c
( ) ( ) ( )2 5 mf x m m x m Z= − − ∈ ( )0, ∞+
2 5 1
0
m m
m
m Z
− − =
<
∈
2m = −
1
116 3
622 2 22
m
a
−
−− = = =
1 1
1 12
2 42 22
2
m
b
−
−
− = =
=
( )21 21 2 22
m
c
−
− − = = =
2xy = R c b a< <
( )0, ∞+
| |y x x= y x= | |e xy =
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数性质判断偶函数与单调性即可.
【详解】对 A,因为 ,故 为奇函数,不满足
对 B, 定义域为 ,不满足偶函数
对 C, 为偶函数,且在区间 上单调递增,满足题意
对 D, 为偶函数,但在区间 上单调递减,不满足题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型.
7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总
数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033 B. 1053
C. 1073 D. 1093
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 设 ， 两 边 取 对 数 ，
， 所 以 ， 即 最 接 近
，故选 D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的
1ln | |y x
=
| | | |x x x x− − = − | |y x x=
y x= [ )0,+∞
| |e xy = ( )0, ∞+
1ln ln | || |y xx
= = − ( )0, ∞+
M
N
361
80
3
10
M xN
= =
361
361 80
80
3lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.2810x = = − = × − = 93.2810x = M
N
9310
运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令 ，并想到两边同时取对数进行求
解，对数运算公式包含 ， ，
.
8.已知 ，设 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数 的图像分析可得 的关系,再代入关系求解 的取值范围即可.
【详解】由题意得 ,根据图像可知 .
故 ,即 .
故 ,又 在 内单调递减,故
故 的取值范围是
故选：B
【点睛】本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范
围的问题,属于基础题型.
9.已知函数 ， ，则以下结论正确的是（ ）
A. 任意的 ， 且 ，都有
361
80
3
10x =
log log loga a aM N MN+ = log log loga a a
MM N N
− =
log logn
a aM n M=
( ) | ln |f x x= 0 a b< < ( ) ( )f a f b= 2+a b
[ )3,+∞ ( )3,+∞ )2 2, +∞
( )2 2,+∞
( ) | ln |f x x= ,a b 2+a b
( ) ( )f a f b= 0 1a b< < <
ln lna b− = 1 1ln ln , , (0,1)b b aa a
= = ∈
22a b a a
+ = + 2a a
+ (0,1)a∈ 2 21 31a a
+ > + =
2+a b ( )3,+∞
( ) x xf x e e−= − ( ) x xg x e e−= +
1x 2x R∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− <−
B. 任意的 ， 且 ，都有
C. 有最小值，无最大值
D. 有最小值，无最大值
【答案】D
【解析】
【分析】
A：根据函数解析式直接判断 的单调性，可判断对错；
B：利用奇偶性判断 的单调性，即可判断对错；
C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；
D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.
【详解】A： 在 上均是增函数，所以 是 上增函数，故错误；
B：因为 ，所以 是偶函数，所以 在 上不可能是
减函数，故错误；
C：因为 ，所以 是奇函数，又 在 上是增
函数，所以 无最值，故错误；
D：任意的 ， 且 ，所以
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以
在 上单调递增，
因为 是偶函数，所以 在 上单调递减，所以 ，无最大值，
故正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上
的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间
1x 2x R∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2
1 2
0g x g x
x x
− <−
( )f x
( )g x
( )f x
( )g x
( ) ( )21 ,x xff x exe −== − R ( )f x R
( ) ( )( )x xg x e e g x x R−− = + = ∈ ( )g x ( )g x R
( ) ( ) ( )( )x xf x e e f x x R−− = − − = − ∈ ( )f x ( )f x R
( )f x
1x [ )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x<
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 21 2
1x x x x
x x x x x x x x
x x
e e e e
g x g x e e e e e e e e e e
− − − −
− −
− = + − + = − + − =
1 2 1 0x xe e − > 1 2 0x xe e− < ( ) ( )1 2 0g x g x− < ( ) ( )1 2g x g x< ( )g x
[ )0,+∞
( )g x ( )g x ( ),0−∞ ( ) ( )min 0f x f=
上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等.
10.已知 ， 都是偶函数，且在 上单调递增，设函数
，若 ，则（ ）
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴若 ： ， ，∴ ，
若 ： ， ，∴
，
若 ： ， ，∴ ，
综上可知 ，同理可知 ，故选 A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致 与
大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇
函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)
或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
二、填空题
( )f x ( )g x [ )0,+∞
( ) ( ) (1 ) ( ) (1 )F x f x g x f x g x= + − − − − 0a >
( ) ( )F a F a− ≥ ( ) ( )1 1F a F a+ ≥ −
( ) ( )F a F a− ≥ ( ) ( )1 1F a F a+ ≤ −
( ) ( )F a F a− ≤ ( ) ( )1 1F a F a+ ≥ −
( ) ( )F a F a− ≤ ( ) ( )1 1F a F a+ ≤ −
2 (1 ), ( ) (1 )( ) {2 ( ), ( ) (1 )
g x f x g xF x f x f x g x
− ≥ −= < −
2 (1 ), ( ) ( ) (1 )( ) {2 ( ), ( ) ( ) (1 )
g a f a f a g aF a f a f a f a g a
+ = − ≥ +− = − = − < +
2 (1 ), ( ) (1 )( ) {2 ( ), ( ) (1 )
g a f a g aF a f a f a g a
− ≥ −= < −
0a > 2 2( 1) ( 1) 4 0a a a+ − − = > 1 1 (1 ) (1 )a a g a g a+ > − ⇒ + > −
( ) (1 )f a g a> + ( ) 2 (1 )F a g a− = + ( ) 2 (1 )F a g a= − ( ) ( )F a F a− >
(1 ) ( ) (1 )g a f a g a− ≤ ≤ + ( ) 2 ( ) 2 ( )F a f a f a− = − = ( ) 2 (1 )F a g a= −
( ) ( )F a F a− ≥
( ) (1 )f a g a< − ( ) 2 ( ) 2 ( )F a f a f a− = − = ( ) 2 ( )F a f a= ( ) ( )F a F a− =
( ) ( )F a F a− ≥ (1 ) (1 )F a F a+ ≥ −
1 a−
1 a+
11.计算： ________； ________．
【答案】 (1). (2). 2
【解析】
【分析】
根据指数对数与根式的运算化简即可.
【详解】
故答案为：(1) , (2) 2
【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型.
12.函数 的定义域为________，值域为________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)利用分母不为 0 进行计算.
(2)先求出指数 的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可.
【详解】(1)由分母不为 0 有 ,即
(2)因为 为 往右平移 2 个单位所得,故
故
【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型.
13.若 ， ，则函数 的图象恒过定点________；当 时，
函数 的单调递减区间是________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)令 中真数 求解即可.
( )1 2 038 1 2 π+ − − = 3 92log 6 log 16− =
2
( )1 12 0 33 38 1 2 (2 ) 1 2 1 2 2 1 1 2π+ − − = + − − = + − − =
2
2 2
3 9 3 3 3 3 33
22log 6 log 16 2log 6 log 4 log 6 log 4 lo 36 9 24g log2
− = − = − = = =
2
( ) 1
22 xf x −=
( ) ( ),2 2,−∞ +∞ ( ) ( )0,1 1,+∞
1
2x −
2 0x − ≠ ( ) ( ),2 2,x∈ −∞ +∞
1
2x −
1
x
1 ( ,0) (0, )2x
∈ −∞ ∪ +∞−
( ) ( ) ( )1
2 0, ,2 1 1xf x − ∈ ∞= +
0a > 1a ≠ ( ) ( )23 log 1af x x= + + 1a >
( )f x
( )0,3 ( ),0−∞
( ) ( )23 log 1af x x= + + 2 1 1x + =
(2)利用同增异减的关系, 的单调递减区间与 的单调递减区间相同即可.
【详解】(1)令 又 ,又 ,故图象恒过定点
(2) 当 时 为增函数,故 的单调递减区间与 的单调递
减区间相同,为
故答案为：(1) (2).
【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型.
14.已知函数 ， 有三个零点 、 、 ，则实数 a 的取值范围是
________； 的取值范围是________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)令 ,则 ,设函数 画出图像再分析与
的交点个数即可.
(2)根据图像分析得 ,再分析 的范围即可.
【详解】(1)令 ,则 ,设函数
,
画出函数 的图像.易得当 为抛物线上顶点为
又 有三个零点 、 、 ,即 与 有三个交点,故
( )f x 2 1x +
2 1 1x + = 0x = ( ) ( )20 3 log 0 1 3af = + + = ( )0,3
1a > loga x ( ) ( )23 log 1af x x= + + 2 1x +
( ),0−∞
( )0,3 ( ),0−∞
( ) | 1|f x x x a= − − x∈R 1x 2x 3x
1 2 3x x x+ +
10 4a< < 3 22, 2
+
( ) | 1| 0f x x x a= − − = | 1|x x a− = ( ) | 1|g x x x= −
y a=
1 2 1x x =+ 3x
( ) | 1| 0f x x x a= − − = | 1|x x a− =
( 1), 1( ) 1 (1 ), 1
x x xg x x x x x x
− ≥= − = − <
( )g x 1
2x = 1 1( , )2 4
( )f x 1x 2x 3x ( )g x y a= 10 4a< <
(2)有图像得 ,即 ,当 时,
即 ,此时 ,故
故
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图
像求零点的范围问题,属于中等题型.
15.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时 ，对任意的 ，
恒有 ，则实数 的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
写出函数 的解析式，判断出函数 在 上单调递减，由 ，
结合 ，可得出 在区间 上恒成立，于是得出
，从而解出实数 的取值范围，得出 的最大值.
【 详 解 】 由 于 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当 时 ，
，
，易知函数 在 上单调递减，
又 ，由 ，得 ，
即 在 上恒成立，则 ，
化简得 ，解得 ，因此，实数 的最大值为 ，
1 2 1
2 2
x x+ = 1 2 1x x =+ 1
4a = 21 1 1( 1) ,4 4 2x x x x− = − + =
21 1( )2 2x − =
3
2 1
2x
+= 3
2 1(1, )2x
+∈
1 2 3
3 2(2, )2x x x
++ + ∈
10 4a< < 3 22, 2
+
( )f x R 0x ≤ ( ) 2f x x= [ ]1, 1x a a∈ − +
( ) ( )2 3f x a f x+ ≥ a
3
3
−
( )y f x= ( )y f x= R ( ) ( )3 3f x f x=
( ) ( )2 3f x a f x+ ≥ 2 3x a x+ ≤ [ ]1, 1a a− +
( ) ( )( )
min
2 3 1 3 1 1a x a ≤ − = − − a a
( )f x R 0x >
( ) ( ) ( )2 2f x f x x x= − − = − − = −
( ) 2
2
, 0
, 0
x xf x
x x
≤∴ = − >
( )y f x= R
( ) ( )3 3f x f x= ( ) ( ) ( )2 3 3f x a f x f x+ ≥ = 2 3x a x+ ≤
( )2 3 1a x≤ − [ ]1, 1x a a∈ − + ( ) ( )( )
min
2 3 1 3 1 1a x a ≤ − = − −
( ) ( )3 3 3 1a− ≤ − − 3
3a ≤ − a 3
3
−
故答案为： .
【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不
等式转化为 ，利用函数 的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，
属于难题.
16.对于定义在 R 上的函数 ，如果存在实数 a，使得 对任意实数
恒成立，则称 为关于 a 的“ 函数”．已知定义在R 上的函数 是关于 0 和 1
的“ 函数”，且当 时， 的取值范围为 ，则当 时， 的取
值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出 和 再代换求出函数的周期,再将自变量
转换到 内分析即可.
【详解】当 时, ,所以 .
当 时, ,故 ,故函数 是以 2 为周期的周期函数.
又当 时, ,所以 .
又 ,所以 .
所以当 时, ,结合周期性知, 当 时
故答案为：
【点睛】本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判
定以及函数范围的判定.属于中等题型.
3
3
−
( ) ( )1 2f x f x≤ ( )y f x=
( )f x ( ) ( ) 1f a x f a x+ ⋅ − =
x∈R ( )f x τ ( )f x
τ [ ]0,1x∈ ( )f x [ ]1,2 [ ]2,2x∈ − ( )f x
1 ,22
( ) ( ) 1f x f x⋅ − = ( ) ( )1 1 1f x f x+ ⋅ − =
[ ]0,1x∈
1a = ( ) ( )1 1 1f x f x+ ⋅ − = ( ) ( )2 1f x f x+ ⋅ − =
0a = ( ) ( ) 1f x f x⋅ − = ( ) ( )2f x f x+ = ( )f x
[ ]1,2x∈ [ ]2 0,1x− ∈ ( ) [ ]22 1,f x− ∈
( ) ( )2 1f x f x+ ⋅ − = ( ) [ ]1 ,11( ,(2 1,2 )2)f x f x x ∈
= ∈−
[ ]0,2x∈ 1 ,22( )f x ∈
[ ]2,2x∈ − 1 ,22( )f x ∈
1 ,22
17.已知 满足 ，若对任意的 ， 恒成
立，则实数 k 的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
观察 可构造函数 ,分析其性质得
出 的关系再进行不等式恒成立的运用即可.
【详解】设 ,则 为 往右平移两个单位得
来.
又 为单调递增的奇函数,且关于 对称.
故 为单调递增的函数且关于 对称.
又 可知 关于 对称.故 ,
即 .又对任意的 , 恒成立.
即 恒成立.故判别式 ,得 .故 的最小值为 4.
故答案 ：4
【点睛】本题主要考查函数 对称性与恒成立问题.其中构造函数
进行分析是关键,属于难题.
三、解答题
18.设全集 ,集合 ， ,
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） , ，(2）
【解析】
为
的
,x y R∈ ( ) ( )
( ) ( )
3
3
2 2019 2 1
2 2019 2 1
x x
y y
− + − =
− + − = −
0t > kt x yt
+ ≥ +
( ) ( )
( ) ( )
3
3
2 2019 2 1
2 2019 2 1
x x
y y
− + − =
− + − = −
3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + −
,x y
3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + − ( )f x 3( ) 2019g x x x= +
3( ) 2019g x x x= + (0,0)
3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + − (2,0)
( ) ( )
( ) ( )
3
3
2 2019 2 1
2 2019 2 1
x x
y y
− + − =
− + − = −
( ,1),( , 1)x y − (2,0) 22
x y+ =
4x y+ = 0t > 4kt x yt
+ ≥ + =
2 4 0t t k− + ≥ 24 4 0k∆ = − ≤ 4k ≥ k
3( ) ( 2) 2019( 2)f x x x= − + −
U = R { }|1 4A x x= <≤ { }2 2| 5 6 0B x x ax a= + + ≤
1a = − B A∩ UB C A∩
A B A∪ = a
[ ]2,3B A∩ = UB C A∩ = ∅ 4 1
3 2a− < ≤ −
试题分析：（1）代入 ，得到集合 ，即可求解集合 和 ；
（2）由 ，则 ，分类 ， 和 讨论，即可求解实数 的取值范
围.
试题解析：
（1）当 时，此时 ，
所以 ，
又 或 ，所以 .
（2）由 ，则 ，
当 时， ，此时不满足题意，舍去；
当 时， ，此时不满足题意，舍去；
当 时， ，则满足 ，
解得 ，即 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
19.某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y 与投资 x 成正比，
其关系如图甲，B 产品的利润 y 与投资 x 的算术平方根成正比，其关系如图乙 注：利润与投
资单位为万元
分别将 A，B 两种产品的利润 y 表示为投资 x 的函数关系式；
1a = − B B A∩ UB C A∩
A B A∪ = B A⊆ 0a = 0a > 0a < a
1a = − { }2| 5 6 0 { | 2 3}B x x x x x= − + ≤ = ≤ ≤
{ | 2 3}B A x x∩ = ≤ ≤
{ | 1UC A x x= < 4}x ≥ UB C A φ∩ =
A B A∪ = B A⊆
0a = { } { }2| 0 0B x x= ≤ =
0a > { | 3 2 }B x a x a= − ≤ ≤ −
0a < { | 2 3 }B x a x a= − ≤ ≤ − 2 1
3 4
a
a
− ≥
− <
1
2
4
3
a
a
≤ −
> −
1 4
2 3a− ≤ < −
a 1 4
2 3a− ≤ < −
(
).
( )1
该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产 问：怎样分配这 10 万元
资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？
【答案】（1） ， ，
（2）当 A 产品投入 万元，B 产品投入 万元时，企业获得最大利润约为 万元。
【解析】
【分析】
（1）根据题意可设 代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的
解析式;
（2）设设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 万元，企业获利
利用换元法结合二次函数的性质即可求出.
【详解】解： 投资为 x 万元，A 产品的利润为 万元，B 产品的利润为 万元，
由题设 ，由图知 ， ，又 ， ，
从而 ， ，
设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 万元，设企业的利润为 y 万元
，令 ，
，
当 ，此时 ，
当 A 产品投入 万元，B 产品投入 万元时，企业获得最大利润约为 万元。
【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不
能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错
误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对
值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
20.设 ，
（1）求函数的定义域；
( )2 .
( ) ( )1 , 04f x x x= ≥ ( ) ( )5 , 04g x x x= ≥
3.75 6.25 65
16
( ) ( )1 2· , ·f x k x g x k x= =
10 x−
( ) ( )5 10 , 0 10 ,4 4
xf x x x= + − ≤ ≤
( )1 ( )f x ( )g x
( ) ( )1 2· , ·f x k x g x k x= = ( ) 11 4f = 1
1
4k∴ = ( ) 54 2g = 2
5
4k∴ =
( ) ( )1 , 04f x x x= ≥ ( ) ( )5 , 04g x x x= ≥
( )2 10 x−
( ) ( ) ( )510 10 , 0 104 4
xy f x g x x x= + − = + − ≤ ≤ 10 x t− =
( )2210 5 1 5 65 , 0 104 4 4 2 16
ty t t t
− = + = − − + ≤ ≤
5 65,2 16maxt y= = 2510 3.754x = − =
∴ 3.75 6.25 65
16
( ) 1 2lg2 2
xf x x x
−= ++ +
（2）判断 的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
（3）解关于 的不等式 ；
【答案】（1） （2）减函数（3）
【解析】
试题分析：（1）根据解析式有意义，列出条件关系式，即可求解函数的定义；
（2）利用单调性的定义和对数的运算，即可证明函数为单调递减函数；
（3）由 ，转化为 ，利用函数的单调性，列出不等
式组，即可求解不等式的解集.
试题解析：
（1）因为函数 ，所以 且 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ；
（2）任取 ，且 ，
则
，
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以函数 为单调递减函数.
（3）因为函数 ，
令 ，则 ，
则不等式 ，即 ，
( )f x
x ( )1 13 lg3 02 3f x x − − + >
( )2,2− 1 1 2 4x x− < < < <或
( ) 11 lg33f = − ( ) ( )1 3 12f x x f − >
( ) 1 2lg2 2
xf x x x
−= ++ + 2 0x + ≠ 2 02
x
x
− >+ 2 2x− < <
( 2,2)−
1 2, ( 2,2)x x ∈ − 1 2x x<
( ) ( ) 2 1 1 2 1 2
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 (2 )(2 )1 1 lg lg lg2 2 2 2 (2 )(2 ) (2 )(2 )
x x x x x xf x f x x x x x x x x x
− − − + −− = − + − = ++ + + + + + + −
1 2, ( 2,2)x x ∈ − 1 2x x< 1 2 1 2
2 1 2 1
(2 )(2 )0,0 1(2 )(2 ) (2 )(2 )
x x x x
x x x x
− + −< < <+ + + −
1 2 1 2
2 1 2 1
(2 )(2 )0,lg 0(2 )(2 ) (2 )(2 )
x x x x
x x x x
− + −< <+ + + −
( ) ( )2 1 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x
( ) 1 2lg2 2
xf x x x
−= ++ +
1x = ( ) 1 1 11 lg lg33 3 3f = + = −
( )1 13 lg3 02 3f x x − − + >
( )1 13 lg32 3f x x − > −
所以 ，解得 或 .
点睛：本题主要考查了函数的表示和函数的基本性质的判定及应用，其中解答中涉及到函数
的定义域的求解，函数的单调性的判定和不等关系的求解等知识点的综合应用，解答中数列
函数的单调性的定义和合理应用的单调性求解是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档
试题.
21.设函数 ， ．
（1）若函数 有零点，求实数 m 的取值范围；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）若存在不相等的实数 a，b 同时满足方程 和 ，求实数
m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）奇函数，理由见解析
（3） ．
【解析】
【分析】
(1)换元利用 分析函数的零点问题即可.
(2)先判断定义域关于原点对称,再计算 即可证明为奇函数.
(3)由(2)知 为奇函数且 ,故可推导出 ,再根据
代入 换元求解即可.
【详解】(1)令 ,则函数 ,又函数
有零点
令 则因为 ,故 ,故
( )
( )
1 3 12
1 3 22
x x
x x
− <
− > −
1 1x− < < 2 4x< <
( ) ( )14 2x xf x m m R+= − ⋅ ∈ ( ) ( )2ln 1g x x x= + −
( )f x
( )g x
( ) ( ) 0f a f b+ = ( ) ( ) 0g a g b+ =
( )0, ∞+
1 ,2
+∞
2xt =
( ) ( )g x g x− +
( )g x ( ) ( ) 0g a g b+ = = −a b ( ) ( ) 0f a f b+ =
( )f x
2 ( 0)xt t= > ( ) 1 24 2 2 ( 2 )x xf x m t mt t t m+= − ⋅ = − = −
( )f x
( ) 0f x = 0t > 2 0t m= > 0m >
(2) 为奇函数.
由 定义域 恒成立.且
.即
故 为奇函数.
(3)因为 为奇函数,且 在 上为减函数,
故 为在 上单调递减的奇函数.
又 ,故
又 则 ,即
所以 .令 ,则 ,又当 时
不满足 ,故
又 在 上单调递增.故
即
【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的
判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.
22.设函数 ．
（1）若函数 在 上不单调，求实数 a 的取值范围；
（2）求函数 在 的最小值．
【答案】（1）
( ) ( )2ln 1g x x x= + −
( ) ( )2ln 1g x x x= + − 2 1 0x x+ − >
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22ln 1 ln 1g x g x x x x x− + = + − + − + − −
( ) ( ) ( )2 2 2 2ln 1 ln 1 ln 1 ln1 0x x x x x x= + − + + + = + − = = ( ) ( ) 0g x g x− + =
( ) ( )2ln 1g x x x= + −
( ) ( )2ln 1g x x x= + − ( )
2
1ln
1
g x
x x
= + +
(0, )+∞
( )g x R
( ) ( ) 0g a g b+ = ( ) ( ) ( ),g a g b g b b a= − = − = −
( ) ( ) 0f a f b+ = 4 2 2 4 2 2 0a a a am m− −⋅ + − ⋅ =− 4 4 2 2 2 )(a a a am− −⋅ ++ =
4 4
2 22
a a
a am
−
−+
+= 2 2a an −= + 22 2 2 22a a a an − −= ⋅≥ =+ 2 2a a−=
0a = a b¹ 2 2 2a an −= + >
24 4
2
2 22 2
a a
a a
nm nn n
−
−
−= =+
+= − ( )2 +∞， 2 22 12n n
− > − =
12 1, 2m m> >
( ) ( )22 2 | |f x x x a x a= + − −
( )f x [ ]2,1−
( )f x [ ]1,1−
44 3a− < <
（2） ．
【解析】
【分析】
(1)分 与 两种情况将 写成分段函数的形式,再根据对称轴与区间 的位
置关系讨论即可
(2)先分 , 两种情况讨论,再根据两个二次函数 对称轴再对 进行讨论分析最小值
的取值情况.
【详解】(1)由 化为
则二次函数 对称轴为 .
对称轴为
则当 时, 若函数 在 上不单调则对称轴 在 之间,
即 ,因为 故化简得 ,即
当 时, 满足题意.
当 时, 若函数 在 上不单调则对称轴 在 之间,
即 ,因为 故
综上所述,
(2) 由(1) ,
的
( )
2
2
min 2
2
2 3 3 2
5 2 04
17 204 3
22 3 1 3
a a a
a a
f x
a a
a a a
+ + ≤ −
− < <= − ≤ <
− − + ≥
x a≥ x a< ( )f x [ ]2,1−
0a < 0a ≥ a
( ) ( )22 2 | |f x x x a x a= + − − ( ) 2 2
2 2
3 3 2 ,
3 2 ,
x ax a x af x
x ax a x a
− + ≥= + − <
2 2
1( ) 3 3 2 ( )f x x ax a x a= − + ≥ 1
2x a=
2 2
2 ( ) 3 2 ( )f x x ax a x a= + − < 3
2
ax = −
0a > ( )f x [ ]2,1− 3
2
ax = − [ ]2,1−
32 12
a− < − < 0a > 4
3a < 40 3a< <
0a = ( ) 2
2
2
3 ,( 0)2
,( 0)
x xf x x x x
x x
≥= + = <
0a < ( )f x [ ]2,1− 1
2x a= [ ]2,1−
12 1, 4 22 a a− < < − < < 0a < 4 0a- < <
44 3a− < <
( ) 2 2
2 2
3 3 2 ,
3 2 ,
x ax a x af x
x ax a x a
− + ≥= + − <
2( ) 2f a a=
对称轴为 .
对称轴为
1.当 时,
当 ,即 时, 在 上单调递增,
此时
当 即 时, 在 的对称轴 处取得最小值,
此时
2.当 时,
当 ,即 时, 在 上单调递增,
此时
当 ,即 时, 在 的对称轴 处取得最小值,
此时
综上所述,
【点睛】本题主要考查含参的绝对值函数的求解方法,主要是先根据自变量与参数的大小关系
写成分段函数的形式,再根据每个分段函数的性质进行最值的分析求解.同时也要注意分类讨
论的思想,属于难题.
2 2
1( ) 3 3 2 ( )f x x ax a x a= − + ≥ 1
2x a=
2 2
2 ( ) 3 2 ( )f x x ax a x a= + − < 3
2
ax = −
0a <
1 12 a ≤ − 2a ≤ − ( )f x [ ]1,1−
2
min 1( ) ( 1) 2 3 3f x f a a= − = + +
11 02 a− < < 2 0a− < < ( )f x 1( )f x 1
2x a=
2 2 2 2
min 1
1 3 3 5( ) ( ) 22 4 2 4f x f a a a a a= = − + =
0a ≥
3 12 a− ≤ − 2
3a ≥ ( )f x [ ]1,1−
2
min 2( ) ( 1) 2 3 1f x f a a= − = − − +
31 02 a− < − ≤ 20 3a≤ < ( )f x 2 ( )f x 3
2x a= −
2 2 2 2
min 2
3 9 9 17( ) ( ) 22 4 2 4f x f a a a a a= − = − − = −
( )
2
2
min 2
2
2 3 3 2
5 2 04
17 204 3
22 3 1 3
a a a
a a
f x
a a
a a a
+ + ≤ −
− < <= − ≤ <
− − + ≥