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- 2024-02-06 发布
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东海高级中学2019—2020学年高一年级第一次月考数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据集合可直接求解.
详解：,
,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
2.已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
3.已知集合，则的子集个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用列举法表示集合，可得出集合中的元素个数，然后利用子集个数公式可得出集合的子集个数.
【详解】，
则集合中有个元素，因此，集合的子集个数为.
故选：A.
【点睛】本题考查有限集子集个数的计算，解题的关键就是确定出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.
4.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系，由此判断出正确选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一函数.
对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一函数.
对于C选项，函数定义域为，函数的定义域为，且，故是同一函数.
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一函数.
故选C
【点睛】本小题主要考查两个函数是否是同一函数的判断，考查函数的定义域、值域和对应关系，属于基础题.
5.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
试题分析：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=-1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C．
考点：1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．
6.设则使得成立的值是 ( )
A. 10 B. 0，10 C. 1，﹣1，11 D. 0，﹣2，10
【答案】D
【解析】
分析】
因为是分段函数，所以分：当m＜1时，f（m）=（m+1）2=1和当m≥1时，f（m）=4﹣=1两种情况取并集．
【详解】当m＜1时，f（m）=（m+1）2=1
∴m=﹣2或m=0
当m≥1时，f（m）=4﹣=1
∴m=10
综上：m的取值为：﹣2，0，10
故选D．
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，主要涉及了已知函数值求自变量，同时，还考查了分类讨论思想和运算能力，属中档题．
7.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析二次函数图象的开口方向和对称轴，结合题意可得出，解出即可.
【详解】由于二次函数图象开口向下，对称轴为直线.
由于该函数在区间上是增函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查利用二次函数在区间上单调性求参数，要结合二次函数图象的开口方向与对称轴进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
8.若函数的定义域、值域都是，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
由题意得，函数图象的对称轴为，
∴函数在区间上单调递增，且定义域、值域都是，
∴，即，
解得或（舍去）
∴．选A．
9.奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x（1+x），则f(x)在上有（ ）
A. 最大值-1/4 B. 最大值1/4 C. 最小值-1/4 D. 最小值1/4
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据奇函数性质求f(x)在上解析式，再根据二次函数性质求最值.
【详解】当时，，
所以当时，取最大值，选B.
【点睛】已知函数的奇偶性求函数解析式，主要抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.
10.已知是上的单调递增函数,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件利用函数的单调性的性质可得4﹣＞0，且a＞0，且 4﹣+2≤a，由此求得实数a的取值范围．
【详解】根据f（x）=是R上的单调递增函数，
可得4﹣＞0，且a＞0，且 4﹣+2≤a，
求得4≤a＜8，
故选A．
【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段也是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.
11.设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是( )
A. (－∞，0] B. [2，＋∞) C. (－∞，0]∪[2，＋∞) D. [0，2]
【答案】D
【解析】
【分析】
求出导函数，题意说明上恒成立（不恒等于0），从而得，得开口方向，及函数单调性，再由函数性质可解.
【详解】二次函数在区间上单调递减，则，，所以，即函数图象的开口向上，对称轴是直线．所以f(0)＝f（2），则当时，有．
【点睛】实际上对二次函数，当时，函数在递减，在上递增，当时，函数在递增，在上递减.
12.已知奇函数是上的减函数,且,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用奇偶性与单调性把抽象不等式转化为具体不等式即可.
【详解】∵奇函数是定义在R上的减函数，且,
若,，
则g（m）＞﹣g（m-2）=g（2﹣m），
∴m＜2﹣m，
解得：m＜1，
故选A．
【点睛】根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成
后再利用单调性和定义域列不等式组.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
13.设函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用分段函数的解析式，由内到外逐层计算的值.
【详解】，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数值的计算，在计算多层函数值时，要遵循由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.
14.已知，且，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先令,可得,代回函数关系式可得,进而求得
【详解】令,,
,
,
故答案为2
【点睛】本题考查已知函数值求参数,考查函数转换的思想,属于基础题
15.已知集合，且下列三个关系：①；②；③，有且只有一个正确，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合相等的条件，分别讨论①正确、②正确、③正确，得出、、的值，从而可得出的值.
【详解】已知集合，且下列三个关系：①；②；③，有且只有一个正确.
若①正确，则，，，不成立；
若②正确，则，，，不成立；
若③正确，则，，，.
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查集合相等条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏，考查推理能力，属于基础题.
16.已知是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析出函数在区间上为增函数，由偶函数的性质得出，可得出，不等式两边平方后得出，构造函数，得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】当时，，
所以，函数在区间上为增函数.
，，即.
所以，，不等式两边平方得.
构造函数，
由题意知，不等式对任意的恒成立，则，
解得或，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的单调性与偶函数的性质解函数不等式，同时也涉及了一次函数不等式在区间上恒成立，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．
（1）若a=-2，求B∩A，B∩(∁UA)；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）B∩A=[1，4），B∩(∁UA)= [-4,1)∪[4,5)；（2） .
【解析】
【分析】
(1)利用补集的定义求出的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论是否是空集，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁UA={x|x＜1或x≥4}，
∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），
B∩(∁UA)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).
（2）A∪B=A⇔B⊆A，
①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,
②B≠∅时，则有，∴,
综上所述，所求a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.
18.计算：
（1）；
（2），求及．
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算律可计算出所求代数式的值；
（2）将等式两边平方可得出的值，将代数式平方即可计算出的值.
【详解】（1）原式；
（2）在等式两边平方得，则．
，则．
【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了整体代换思想的应用，考查计算能力，属于基础题.
19.已知，求的最小值.
【答案】
【解析】
【分析】
讨论和的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值
【详解】当时，，它在上是减函数
故函数的最小值为
当时，函数的图象思维对称轴方程为
当时，，函数的最小值为
当时，，函数的最小值为
当时，，函数的最小值为
综上，
【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
20.经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且日销售量近似满足函数（件），而且销售价格近似满足于（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值．
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】
（1），写成分段函数的形式，并且化简可得函数表达式；（2）根据（1
）的结果，可得分段函数的每段都是二次函数，所以分别求两段函数的最值，再进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值.
【详解】解：（1）由已知得：
=
（2）由（1）知①当时，.
该函数在[0,5]递增，在（5,10]递减．
，．
②当时，.
该函数在（10,20]递减，．
由①②知，
考点：1.函数的实际应用；2.分段函数的最值.
21.函数为上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若区间恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质求b，再代值计算求出a；
（2）求出函数f（x）的最大值即可，根据基本不等式即可求出．
详解】（1），，对一切成立，
即恒成立，，．
又，. ．
（2）在区间上任取，，且，则
，
．
，，， 又，，
故知，，．
故知，函数在上单调递减．．
若区间恒成立，，即，，或，的取值范围是．
【点睛】本题考查了函数恒成立的问题以及奇函数的性质和基本不等式，属于中档题．
22.已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）设，，，求函数的最小值；
（3）对（2）中的，若不等式对于任意的时恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ； (2) ；(3).
【解析】
试题分析：（1）利用函数单调性得证明方法证明函数在上是增函数，利用单调性求其值域；（2）通过换元法，问题转化为二次函数求最小值，利用对称轴分类讨论即可；（3）分离参数，求函数的最值，求最值时利用函数单调性.
试题解析：(1) 在任取且，则，，
所以，，即，
所以是上增函数，故当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以函数的值域为.
(2) ，，
令，，则.
①当时，在上单调递增，故；
②当时，在上单调递减，故；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，故；
综上所述，
(3)由(2)知，当时，，所以，
即，整理得，.
因为，所以对于任意的时恒成立.
令，，问题转化为.
在任取且，则，，
所以，，
①当时，，所以，即，
所以函数在上单调递增；
②当时，，所以，即，
所以函数在上单调递减；
综上，，从而.
所以，实数的取值范围是.
试题点睛：本题涉及函数单调性定义，利用单调性求函数最值，分类讨论等内容，属于难题.解题时注意分析函数增减性及其应用，特别是含参数的函数求最值时，要注意分类讨论，过程要不重不漏.