2017-2018学年湖南省株洲市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 缺答案 5页

‎2017-2018学年湖南省株洲市第二中学高二上学期第一次月考 数学（理）试题 分值：150 分 时量：120 分钟 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共计 60 分，每小题只有一个正确答案．请将答案填入答 题卷中的相应位置．）‎ ‎1．集合 A ={1,2,4}，B ={x |1 ≤x <4, x ∈Z}，则 A ∩B =( )‎ A．{2}‎ ‎B．{1，2}‎ ‎C．{2，4}‎ ‎D．{1，2，4}‎ ‎2．设 S n 为等差数列{an } 的前 n 项和，若 a1 + a3 + a5 = 3 ，则 S 5 = ( )‎ A．5 B．‎7 ‎C．9 D．11‎ r r r r ‎3．已知向量 a = ( x, -1) ，‎ ‎b = (1, 3 ) ，若 a ^ b ，则 a = ( )‎ A． 2 B． ‎3 ‎C．2 D．4‎ ‎4．已知直线 l 过点 (0, 3) 且与直线 x + y + 1 = 0 垂直，则 l 的方程是( )‎ A． x + y - 2 = 0‎ ‎B． x - y + 2 = 0‎ ‎C． x + y - 3 = 0‎ ‎D． x - y + 3 = 0‎ ‎5．如右图所示，该程序运行后输出的结果为( )‎ A． 4 B． ‎6 ‎ C． 8 D．10‎ ìï2 x + 3 y - 3 £ 0‎ ‎6．设 x，y 满足约束条件 í2 x - 3 y + 3 ³ 0 ，则 z = 2 x + y 的最小值是( )‎ ïî y + 3 ³ 0‎ A． - 15‎ ‎B． - 9‎ ‎C．1 D． 9‎ ‎7．函数 f ( x) = í ìx 2 + 2 x - 3‎ î- 2 + ln x ‎‎ x £ 0‎ x > 0‎ ‎的零点个数为( )‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎8．已知 m ， n 为两个非零向量，则“ m × n < ‎0 ”‎是“ m 与 n 的夹角为钝角”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．设a和b为不重合的两个平面， l 是一条直线，给出下列命题中正确的是( )‎ A．若一条直线 l 与a内的一条直线平行，则 l //a B．若平面a内有无数个点到平面 b的距离相等，则a// b C．若 l 与a内的无数条直线垂直，则 l ^ a D．若直线 l 在a内，且 l ^ b，则a ^ b ‎10．已知直线 ax + y - 1 = 0 与圆 C：( x - 1) 2 + ( y + a) 2 = 1 相交于 A，B 两点，且 DABC 为等腰直角三角 形，则实数 a 的值为( )‎ ‎1‎ A． 或 - 1‎ ‎7‎ ‎B． - 1‎ ‎C． 1或 - 1‎ ‎D．1‎ 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分，请将答案填入答题卷中的相应置．)‎ ‎13．已知一个边长为 2 的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为 ‎ ．‎ 三、解答题(本大题共 6 个小题，共计 70 分，答题应写出详细的文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取 50 人进行统计（已知这 50 个身高介于 ‎155 cm‎ 到 ‎195 cm 之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155,160) ，第二组[160,165) ，…， 第八组[190,195] ，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180,185) 和第七组 [185,190) 还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为 5：2.‎ ‎(1)补全频率分布直方图并根据频率分布直方图估计这 50 位男生身高的中位数； (2)用分层抽样的方法在身高为[170,180] 内抽取一个容量为 5 的样本，从样本中任意抽取 2 位男生，求这 两位男生身高都在[175,180] 内的概率．‎ ‎18．在锐角 DABC 中，内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且 2cos2 B + C + sin ‎2 A = 1 .‎ ‎2‎ ‎(1)求 A ；‎ ‎(2)设 a = 2 3 - 2 ，‎ ‎‎ DABC 的面积为 2，求 b + c 的值．‎ ‎19．如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA ^ 平面 th ， E 为 PD 的中点．‎ ‎(1)证明： PB // 平面 AEC ；‎ ‎(2)设 PA = 1 ， ÐABC = 60° ，三棱锥 E - ACD 的体积为 ‎‎ ‎3‎ ‎，求二面角 D - AE - C 的余弦值．‎ ‎8‎ ‎20．Sn 为数列{an } 的前 n 项和，且 Sn = 2n ‎（1）求数列{an } 和{bn } 的通项；‎ ‎（2）求数列{anbn }的前 n 项和Tn ．‎ ‎+ n ， n Î N *‎ ‎，数列{bn } 满足 ‎b1 = 1 ， bn +1 = 2bn + 3 ， n Î N ．‎ ‎21．已知椭圆 C 的两个焦点为 F1 (-1,0) ， F2 (1,0) ，且经过点 E (‎ ‎3， 3 ) ．‎ ‎2‎ ‎(1)求椭圆 C 的方程；‎ ‎(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 AF1 = lF1 B ，且 2 £ l< 3 ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．‎ ‎22．已知椭圆 C : x ‎2 y 2‎ + ‎‎ = 1(a > b > 0) 的焦距为 2 6 ，设右焦点为 F ，过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 a2 b2‎ ‎‎ uuuuv uuuv A, B 两点，线段 AF 的中点为 M ，线段 BF 的中点为 N ，且 OM • ON = 1 .‎ ‎4‎ ‎（1）求弦 AB 的长；‎ ‎（2）当直线 l 的斜率 k = 1 ，且直线 l¢ / /l 时， l¢ 交椭圆于 P, Q ，若点 A 在第一象限，求证：直线 AP, AQ ‎2‎ 与 x 轴围成一个等腰三角形．‎