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- 2024-02-03 发布
2015 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
数学(理科)
一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
1、设全集 UR .若集合 1,2,3,4 , 23xx ,则 U ð .
2、若复数 z 满足31z z i ,其中i 为虚数单位,则 z .
3、若线性方程组的增广矩阵为 1
2
23
01
c
c
、解为 3
5
x
y
,则 12cc .
4、若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为16 3 ,则 a .
5、抛物线 2 2y px ( 0p )上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,则 p .
6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ,则其母线与轴的夹角的大小为 .
7、方程 11
22log 9 5 log 3 2 2xx 的解为 .
8、在报名的3 名男教师和6 名女教师中,选取5 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选
取方式的种数为 (结果用数值表示).[来源:Zxxk.Com]
9、已知点 和Q 的横坐标相同, 的纵坐标是Q 的纵坐标的 2 倍, 和 Q 的轨迹分别为双曲线 1C 和
2C .若 1C 的渐近线方程为 3yx ,则 2C 的渐近线方程为 .
10、设 1fx 为 22 2
x xfx , 0,2x 的反函数,则 1y f x f x 的最大值为 .
11、在
10
2015
11 x x
的展开式中, 2x 项的系数为 (结果用数值表示).
12、赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2 ,3 ,4 ,5 的卡片中随机摸取一张,
将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随 后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字
之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:元).若随机变量 1 和 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金
和奖金,则 12 (元).
13、已知函数 sinf x x .若存在 1x , 2x ,, mx 满足 1206mx x x ,且
1 2 2 3 1 12nnf x f x f x f x f x f x ( 2m ,m ),则 m 的最小值
为 .
14、在锐角三 角形 C 中, 1tan 2 , D 为边 C 上的点, D 与 CD 的面积分别为 2 和
4 .过 D 作 D 于 , DF C 于 F ,则 D DF .
二、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
15、设 1z , 2 Cz ,则“ 1z 、 2z 中至少有一个数是虚数”是“ 12zz 是虚数”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16、已知点 的坐标为 4 3,1 ,将 绕坐标原点 逆时针旋转
3
至 ,则点 的纵坐标为( )
A. 33
2
B. 53
2
C.11
2
D.13
2
17、记方程①: 2
1 10x a x ,方程②: 2
2 20x a x ,方程③: 2
3 40x a x ,其中 1a , 2a ,
3a 是正实数.当 1a , 2a , 3a 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( )[来源:学科网 ZXXK]
A.方程①有实根,且②有实根 B.方程①有实根,且②无实根
C.方程①无实根,且②有实根 D.方程①无实根,且②无实根
18、设 ,n n nxy 是直线 2 1
nxyn
( n )与圆 222xy在第一象限的交点,则极限
1lim 1
n
n n
y
x
( )
A. 1 B. 1
2 C.1 D.2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19、(本题满分 12 分)如图,在长方体 1 1 1 1CD C D 中, 1 1 , D2 , 、F 分
别是 、 C 的中点.证明 1 、 1C 、 F 、 四点共面,并求直线 1CD 与平面 11CF所成的角的
大小.
20、(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第小题满分 6 分,第小题满分 8 分
如图, , , C 三地有直道相通, 5 千米, C3千米, C4千米.现甲、乙两警员同
时从 地出发匀速前往 地,经过t 小时,他们之间的距离为 ft(单位:千米).甲的路线是 ,
速度为5 千米/小时,乙的路线是 C,速度为8 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 1tt 时乙到
达 C 地.
(1)求 1t 与 1ft 的值;
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米.当 1 1tt时,求 ft的表达式,并判断 ft在
1,1t 上得最大值是否超过3 ?说明理由.
21、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分.
已知椭圆 2221xy,过原点的两条直线 1l 和 2l 分别于椭圆交于 、 和 C 、D ,记得到的平行四
边形 CD 的面积为 S .
(1)设 11,xy , 22C,xy ,用 、C 的坐标表示点 C 到直线 1l 的距离,并证明 1 1 2 12S x y x y;
(2)设 1l 与 2l 的斜率之积为 1
2 ,求面积 S 的值.
22、(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6
分.[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
已知数列 na 与 nb 满足 112n n n na a b b , n .
(1)若 35nbn,且 1 1a ,求数列 na 的通项公式;[来源:学.科.网]
(2)设 的第 0n 项是最大项,即
0nnaa ( n ),求证:数列 nb 的第 项是最大项;
(3)设 1 0a , n
nb ( n ),求 的取值范围,使得 有最大值 与最小值 m ,且
2,2m
.[来源:Z。xx。k.Com]
23、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8
分.
对于定义域为 R 的函数 gx,若存在正常数 ,使得 cos gx是以 为周期的函数,则称 为
余弦周期函数,且称 为其余弦周期.已知 fx是以 为余弦周期的余弦周期函数,其值域为 .设
单调递增, 00f , 4f .
(1)验证 sin 3
xh x x 是以 6 为周期的余弦周期函数;
(2)设 ba .证明对任意 ,c f a f b,存在 0 ,x a b ,使得 0f x c ;
(3)证明:“ 0u 为方程 cos 1fx 在 0, 上得解”的充要条件是“ 0u 为方程 cos 1fx 在
,2上有解”,并证明对任意 0,x都有 f x f x f .