湖南省长沙市实验中学2019-2020学年高一上学期第三次阶段性检测数学试题 20页

www.ks5u.com 长沙市实验中学2019-2020学年度第一学期高一第三次阶段性检测数学 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，或，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合交集的定义运算即可.‎ ‎【详解】由集合，或，得 故选：A ‎【点睛】本题考查了集合交集的定义运算，属于基础题.‎ ‎2.式子经过计算可得到（　　）‎ A. B. C. － D. －‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用被开方数非负，推出a的范围，然后求解即可．‎ ‎【详解】因为，所以a＜0，‎ 所以．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查有理指数幂的运算，属于基本知识的考查．‎ ‎3.下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎①如果、是两条直线，，那么平行于过的任何一个平面；②如果直线满足，那么与平面内的任何一条直线平行；③如果直线、满足，，则 ‎；④如果直线、和平面满足，，，那么；⑤如果与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面.‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线线和线面的位置关系和线面平行的判定和性质，对①②③④⑤一一判断即可.‎ ‎【详解】①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面，不正确，可能a，b在一个平面内；‎ ‎②如果直线a和平面α满足a∥α，那么直线a与平面α内的任何直线平行，不正确，可能a与平面α内的直线异面；‎ ‎③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b，不正确，a，b可能相交或异面；‎ ‎④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，过a与α相交的平面与α交于直线c，可得a∥c，即有b∥c，那么b∥α，正确；‎ ‎⑤如果与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面，不正确，可能.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用线线平行、线面平行和面面平行的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎4.已知关于不等式的解集为，则关于的不等式解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求得x的解集，再根据x＜1，求得a,b的关系，再化简不等式求出x的范围即可．‎ ‎【详解】由解得，又∵的解集为，∴a＜0，＝1，即a＝b，‎ 解不等式，等价于解，进而解，∴﹣1＜x＜2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知易得圆柱的高为，底面圆周长为，求出半径进而求得底面圆半径即可求出圆柱体积．‎ ‎【详解】底面圆周长， ，‎ 所以 故选A ‎【点睛】此题考查圆柱的侧面展开为长方形，长为底面圆周长，宽为圆柱高，属于简单题目．‎ ‎6.如图，是的直观图，其中，轴，轴，那么是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜二测画法的原则，即可判断出结果.‎ ‎【详解】根据斜二测画法中，平行于坐标轴的直线的平行关系不变，且平行于轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，得的原图形是直角三角形，且，故不是等腰直角三角形，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查斜二测画法，熟记斜二测画法的原则即可，属于基础题型.‎ ‎7.如图，在三棱锥中，为棱的中点.若，.则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接，，则（或其补角）为异面直线与所成的角，求出三角形的三边，即可求出异面直线与所成的角．‎ ‎【详解】解：取的中点，连接，，则 ‎ ∵为棱的中点， , 则（或其补角）为异面直线与所成的角， ‎ ‎． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关键．‎ ‎8.如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线面平行得到线线平行，再由平行线截线段成比例，求出的长.‎ ‎【详解】“平面，平面 ‎，即，‎ ‎，‎ 则.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的性质，平行线截线段成比例，属于简单题.‎ ‎9.如图所示，点从点出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为△的中心，设点走过的路程为，△的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当 时, ，一次递增函数,去掉B；当(BC中点) 时为一次递减函数，去掉C,D；所以选A.‎ 点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系 ‎10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上，则球0的表面积为( )‎ A. 8π B. 12π C. 20π D. 24π ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三棱锥P－ABC放在长方体中，三棱锥P－ABC的外接球就是长方体的外接球．‎ ‎【详解】‎ 将三棱锥P－ABC放在长方体中，如图，三棱锥P－ABC的外接球就是长方体的外接球．因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝设外接球的半径为R，依题意可得(2R)2＝22＋22＋(2)2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π，故答案选C.‎ ‎【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎11.在棱长为的正方体中，P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，若|PQ|＝2，则PQ的中点M的轨迹所形成图形的面积是（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的几何特征和球的几何特征可得：M的轨迹是以A为球心，半径为1的球面的八分之一，进而得到答案．‎ ‎【详解】∵P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，‎ 故PQ的中点M的轨迹所形成图形是一个球面的八分之一，‎ 由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，|PQ|＝2，‎ 故M的轨迹是以A为球心，半径为1的球面的八分之一，‎ 其面积S＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是点的轨迹，分析出M点的轨迹所形成图形的形状，是解答的关键，属于中档题．‎ ‎12.已知函数，且存在相异实数，满足.若，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，且存在相异实数m，n满足，知方程有2个不相等的实数根m，n，进而利用根与系数的关系求解．‎ ‎【详解】由题意得：方程有2个不相等的实数根m，n，‎ 由得c＝，由韦达定理得，m+n＝，mn＝，‎ ‎|m﹣n|＝＝＝＝＝.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知幂函数的图象过点，函数，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的图象过点，求出f（x）＝，从而g（﹣1）＝2﹣1+1+3＝4，进而g（g（﹣1））＝g（4）＝f（4），由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵由幂函数的图象过点，∴，解得，∴f（x）＝，‎ ‎∵函数，∴g（﹣1）＝2﹣1+1+3＝4，g（g（﹣1））＝g（4）＝f（4）＝＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎14.正方体中，与平面所成角的正弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体的性质，得BB1与平面ACD1所成角即为DD1与平面ACD1所成角，过点D作平面ACD1的垂线交平面与点O，连接D1O，则∠DD1O即为DD1与平面ACD1所成角，利用等体积法求出DO长，在直角三角形中求出∠DD1O的正弦值即可．‎ ‎【详解】∴BB1与平面ACD1所成角即为DD1与平面ACD1所成角，‎ 过点D作平面ACD1的垂线交平面与点O，连接D1O，则∠DD1O即为DD1与平面ACD1所成角，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∵VD﹣ACD1＝VD1﹣ADC，‎ ‎∴××DO＝××1×1×1，则DO＝，‎ 在Rt△DD1O中，sin∠DD1O＝＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，等体积转化思想，属于中档题．‎ ‎15.关于函数的性质描述，正确的是__________.①的定义域为；②的值域为；③的图象关于原点对称；④在定义域上是增函数.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f（x）的定义域，可判断①；化简f（x），讨论0＜x≤1，﹣1≤x＜0，分别求得f（x）的范围，求并集可得f（x）的值域，可判断②；由f（﹣1）＝f（1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f（x）为奇函数，可判断③．‎ ‎【详解】①，由，解得﹣1≤x≤1且x≠0，‎ 可得函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；‎ ‎②，由①可得f（x）＝，即f（x）＝﹣，‎ 当0＜x≤1可得f（x）＝﹣∈（﹣1，0]；当﹣1≤x＜0可得f（x）＝∈[0，1）．‎ 可得f（x）值域为（﹣1，1），故②正确；‎ ‎③，由f（x）＝﹣的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，‎ f（﹣x）＝＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，即有f（x）的图象关于原点对称，故③正确．‎ ‎④，由f（﹣1）＝f（1）＝0，则f（x）在定义域上不是增函数，故④错误；‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎16.函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的范围计算出的值域，然后分析的值域，考虑当两个值域的交集不为空集时对应的取值范围即可.‎ ‎【详解】因为，所以当时，‎ 因为，所以当时，‎ 由题意可知，‎ 当时，或，所以或，‎ 综上可知：.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数值域的关系求解参数范围，难度一般. ‎ 当两个函数的值域的交集不为空集时，若从正面分析参数的范围较复杂时，可考虑交集为空集时对应的参数范围，再求其补集即可求得结果.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知集合，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合，，进而由集合的补集和交集运算即可；‎ ‎（2）由得，由集合的包含关系计算即可.‎ ‎【详解】（1）集合中，由，得或，所以，‎ 在集合中，，所以.‎ 所以，进而解得.‎ ‎（2）由得，且，由（1）得，‎ 当时，有，得；‎ 当时，有.‎ 综上：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集和交集的运算，也考查了集合的包含关系求参数的问题，分类讨论的思想，属于基础题.‎ ‎18.已知二次函数上不具有单调性.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求函数的最值及相应的的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得二次函数的对称轴在内，计算出即可；‎ ‎（2）令，由（1）得，转化为在的最值及相应的的值即可.‎ ‎【详解】（1）二次函数的对称轴为，且二次函数在上不具有单调性，‎ ‎，解得.‎ ‎（2）由（1）知，，令在上递增，得.‎ 函数转化为，‎ 在上递减，在上递增，当，即时，.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质及最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于基础题.‎ ‎19.在三棱柱中，为中点，，，分别是线段，，上的点，且满足，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得，再由线面平行的判定定理即可证得；‎ ‎（2）由，，得，利用线面平行的判定定理得平面，结合（1）得平面平面，进而得平面.‎ ‎【详解】（1）在三棱柱中，为中点，，分别是线段，上的点，‎ 且满足，，得，面，面，所以平面.‎ ‎（2）在三棱柱中，为中点，，分别是线段，上的点，且，，‎ 在平面，连接，得，面，面，所以平面；‎ 由（1）得平面，，面，所以平面平面.‎ 面，所以平面.‎ ‎【点睛】本题考查了线线，线面，面面的平行的判定定理的应用，三棱柱的性质，属于基础题.‎ ‎20.如图，在四棱锥，底面是平行四边形，，底面，，，，分别为，的中点，为线段的中点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得EF⊥AP，AB⊥AC，，分别为，的中点，从而四边形ABEF为平行四边形，AB∥EF，进而AC⊥EF，由此能证明EF⊥面PAC．‎ ‎（2）连接AE，AM，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，AE⊥PA，从而AE⊥平面PAD，进而∠EMA是EM与平面PAD所成的角，由此能求出直线ME与平面PAD所成角．‎ ‎【详解】（1）证明：∵PA⊥面ABCD，EF⊂面ABCD，∴EF⊥AP，在△ABC中，AB＝AC，，‎ 在平行四边形中，得∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，且，分别为，的中点，‎ ‎∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，‎ ‎∵AP∩AC＝C，AP⊂面PAC，AC⊂面PAC，∴EF⊥面PAC.‎ ‎（2）连接AE，AM，△ABC中，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AE⊥AD，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥PA，∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，‎ ‎∴AM是EM在平面PAD中的射影，∴∠EMA是EM与平面PAD所成的角，‎ 等腰直角三角形ABC，AB＝AC＝2，∴BC＝AB＝2，∴AD＝2，，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵PA＝4，∴PD＝，‎ 又M为PD的中点，故，在Rt△MAE中，tan∠EMA＝＝，‎ ‎∴直线ME与平面PAD所成角的正切值为，所以直线与平面所成的角 ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎21.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以万元的优惠价转让给了尚有万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图所示；③每月需各种开支元．‎ ‎（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；‎ ‎（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？‎ ‎【答案】（1）当P＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值；‎ ‎（2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论．‎ ‎【详解】设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q（P﹣14）×100﹣3600﹣2000，①‎ 由销量图，易得Q＝‎ 代入①式得L＝‎ ‎（1）当14≤P≤20时，，当P＝19.5元，Lmax＝450元，‎ 当20＜P≤26时，，当P＝元时，Lmax＝元.‎ 综上：月利润余额最大，为450元，‎ ‎（2）设可在n年内脱贫，依题意有12n×450﹣50000﹣58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．‎ ‎【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．‎ ‎22.已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求不等式的解集；‎ ‎（3）若在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由是定义在上的奇函数，得，再由奇函数的性质，得 ‎，列出方程组求出a、b的值即可；‎ ‎（2）先利用函数单调性的定义判断出f（x）的单调性，再解不等式即可；‎ ‎（3）由题意转化为，且，令，构造在上递减，在上递增，即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）已知函数是定义在上的奇函数，得，解得，所以.‎ 又，解得，所以.‎ ‎（2）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，有 因为x1＜x2，又g（x）＝2x为R上的单调增函数，所以，‎ 所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．‎ 由不等式，得，‎ 即，解得，得或.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（3）因为在上有两个零点，所以，‎ 得，，令，‎ 则在上递减，在上递增，所以，，.则.‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数性质的应用 ‎，利用单调性的定义证明函数的单调性，以及构造法解不等式，属于中档题．‎ ‎ ‎