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- 2024-01-28 发布
高二普通班期末考试
数学（文科）试题
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过点且斜率不存在的直线方程为
A． B． C． D．
2．空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为
A．2 B． C． D．6
3．若方程表示圆，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
4．直线和直线平行，则实数 的值为
A．3 B． C． D．或
5．用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号，14～26号，…，118～130号），若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是
A．36 B．37 C．38 D．39
6．如图是某超市一年中各月份的收入与支出单位：万元情况的条形统计图已知利润为收入与支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是
A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元
B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
7．如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是
A．1 B．10 C．19 D．28
8．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是
A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数
9.已知命题p：，命题q：．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则实数的取值范围是
A. （-3，-1）∪[0，+∞） B. （-3，-1]∪[0，+∞）
C. （-3，-1）∪（0，+∞） D. （-3，-1]∪（0，+∞）
10.在正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
11.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A. B .
C. D.
12.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为
A. B. 2 C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.命题，使得，则是__________．
14.关于不等式的解集为 ，则_____________
15.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为 。
16.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥 是一个“鳖臑”， 平面 ， ，且 ， ，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
三、解答题（17题10分，其余题12分）
17．求焦点在轴上，且经过两个点和的椭圆的标准方程；
18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．直三棱柱中，若，，，则点到平面的距离为__________．
20．《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
月份
违章驾驶员人数
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式： ,参考数据：.
21．已知椭圆的离心率为，且经过点
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点的直线，它与椭圆相交于两个不同点，且满足为坐标原点）关系的点也在椭圆上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求函数的极值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
一、选择题（5×12=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
B
A
D
C
B
D
D
A
C
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 14.-5 15.5 16.
三、解答题
17.【答案】
【解析】先设出椭圆的方程，再将点和代入，得到一个方程组，解出，的值即可.
【详解】
椭圆的焦点在轴上，
设它的标准方程为,
又椭圆经过点和，
，解之得：，
所求椭圆的标准方程为.
18.【答案】（1）（2，3）（2）[1，2]
【解析】（1）根据p∧q为真命题，所以p真且q真，分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时对应的x的取值范围，取交集，即可求出x的取值范围；
（2）先分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。
【详解】
（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax+3a2＜0可化为x2﹣4x+3＜0，
解得1＜x＜3；
若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．
∵p∧q为真命题，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是（2，3）
（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，解得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a
设p：A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}
∵p是q的必要不充分条件，∴BA．
∴，解得1≤a≤2
∴实数a的取值范围是[1，2]
19.【答案】.
【解析】法一：由已知可以证明出平面平面，通过面面垂直的性质定理，可以过作，则的长为到平面的距离，利用几何知识求出
;
法二:利用等积法进行求解.
【详解】
法一：∵，，∴平面，
又∵平面，平面平面.
又∵平面平面，
∴过作，则的长为到平面的距离，
在中，.
法二：由等体积法可知，解得点到平面的距离为.
20【答案】（1）；（2）49.
【解析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；
（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
【详解】
（1）由表中数据知， ，
∴， ，
∴所求回归直线方程为.
（2）令，则人.
21【答案】(1) ； (2)存在，
【解析】（1）根据椭圆离心率为，得，将点代入椭圆方程，即可求解；
（2）分类讨论当斜率不存在时和斜率存在时直线是否满足题意，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理用点的坐标代入运算即可求解.
【详解】
解：（1）由椭圆的离心率为，得，再由点在椭圆上，得
解得，所以椭圆的方程为.
（2）因为点在椭圆内部，经过点的直线与椭圆恒有两个交点，假设直线存在，
当斜率不存在时，经过点的直线的方程，与椭圆交点坐标为
或，
当时，
，
所以，，
点不在椭圆上；
当时，
，
同上可得：不在椭圆上，
所以直线不合题意；
当斜率存在时：设
，
设，由韦达定理得
因为点在椭圆上，因此得，
由，
由于点也在椭圆上，则
，整理得，
，即
所以
因此直线的方程为
22．（本小题满分12分）
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．
【解析】（1）由题可得函数的定义域为，，（2分）
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，（4分）
所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值．（5分）
（2）即，即，
因为当时，关于的不等式恒成立，
所以当时，．（7分）
令，，则，
设，易知函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，（8分）
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由可得，
所以，，，（10分）
由（1）知，函数在在上单调递增，所以，，
所以，所以，
故实数的取值范围为．（12分）