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- 2024-01-28 发布
课时分层训练(四十二) 平行关系
(对应学生用书第281页)
A组 基础达标
一、选择题
1．(2017·合肥模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
A [如图，由＝得AC∥EF.又因为EF平面DEF，AC平面DEF，所以AC∥平面DEF.]
2．(2017·湖南长沙二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥α
C．m⊥α，m⊥β，则α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C [对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确；
对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或nα，故B不正确；
对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；
对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C.]
3．(2017·豫西五校4月联考)已知m，n，l1，l2表示不同直线，α、β表示不同平面，若mα，nα，l1β，l2β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
D [对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.]
4．(2017·山东济南模拟)如图735所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
【导学号：79140231】
图735
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
B [在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.
∵AB平面ABC，A1B1平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]
5．(2018·合肥二检)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．0条或2条
C [
如图设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF平面BCD，GH平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF平面EFGH，CD平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.]
二、填空题
6．如图736，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.
图736
[∵α∥β，∴CD∥AB，
则＝，∴AB＝＝＝.]
7.如图737所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
图737
[在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，
∴AC＝2.
又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，
平面ADC∩平面AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F为DC中点，
∴EF＝AC＝.]
8.如图738，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
图738
平面ABC，平面ABD [连接AM并延长交CD于E，则E为CD的中点．
由于N为△BCD的重心，
所以B，N，E三点共线，
且＝＝，所以MN∥AB.
于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]
三、解答题
9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图739所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
【导学号：79140232】
图739
[解] (1)点F，G，H的位置如图所示．
(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：
因为ABCDEFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG.
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.
又CH平面ACH，BE平面ACH，
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.
10．(2017·石家庄质检(一))如图7310，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.
图7310
(1)求证：MN∥平面PAB；
(2)求点M到平面PAN的距离．
[解] (1)在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH(图略)，在△PBC
中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1.又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，
∴四边形AMNH为平行四边形，
∴MN∥AH，
又AH平面PAB，MN平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
(2)连接AC，MC，PM(图略)，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.
由题意可得CD＝2，AC＝2，∴S△PAC＝PA·AC＝4，
S△AMC＝AM·CD＝，
由VMPAC＝VPAMC，
得S△PAC·h＝S△AMC·PA，
即4h＝×4，∴h＝，
∴点M到平面PAN的距离为.]
B组 能力提升
11.如图7311，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )
图7311
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
C [因为截面PQMN是正方形，
所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，
由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，
同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，
则AC⊥BD，故A，B正确．
又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]
12．如图7312所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.
【导学号：79140233】
图7312
1 [设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD.
∵四边形BCC1B1是菱形，
∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，
则A1D∶DC1＝1.]
13．如图7313，四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
图7313
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝
AB，所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH是平行四边形，
所以CE∥DH，
又DH平面PAD，CE平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
所以AF＝AB，
又CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AECD为平行四边形，因此CF∥AD，
又CF平面PAD，所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中点F满足要求．