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- 2024-01-20 发布
2017-2018学年江苏省东台市创新学校高二上学期12月月考数学(理科）试卷
（考试时间：120分钟 满分：160分）
命题人：石磊岩 命题时间：2017.11.23
一、 填空题题5分共70分
1．在区间（0，2）中随机抽取一个数，则这个数小于1的概率是 ．
2．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 ．
3．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞l”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”）
4． 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为________．
5．过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为 ．
6．双曲线﹣=1的渐近线方程是 ．
7．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|= ．
8．函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于 ．
9．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）= ．
10．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，
则不等式xf′（x）≥0的解集为 ．
11．在数列{an}中，a1=1，an+1=（n+1）an，通过计算a2，a3，a4，然后猜想an= ．
12．设数列{an}是等差数列，其中，用类比的思想方法，在等比数列{bn}中，若bm=a，bn=b，写出bm+n= ．
13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为 ．
14.已知函数，若对于任意的a∈[﹣1，]，任意的x∈[1，2]都有
f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是 ．
二、解答题
15．(14分)已知数列{an}中，，．计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法进行证明
16．(14分)已知函数处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．
17． (14分)已知函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5．
（1）求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在[0，3]的最值．
18．(16分)如图，已知在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（侧棱垂直底面的棱柱）中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD1=2AD=2AB=2．（1）求证：DB⊥平面B1BCC1；（2）求BC1与平面A1BD所成的角的正弦值．
A
N
B
O
x
y
M
第19题
19．(16分)已知圆与椭圆相交于点,，且椭圆的离心率为.
（1）求值和椭圆的方程；
（2）过点的直线另交圆和椭圆分别于两点．
① 若，求直线的方程；
② 设直线的斜率为，直线的斜率为，
问:是否为定值,如果是,求出定值; 如果不是，请说明理由．
20． (16分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量P（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式为：P=x+a（0＜x≤120）．当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，每小时耗油升．（1）求实数a的值；
（2）已知甲、乙两地相距100千米，汽油的价格是8元/升，司机每小时的工资是16元，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地的总费用最少？最少是多少元？．
参考答案
一：填空题
2. 95 3. 充分不必要 4. 0.032 5. 3 6. 7. 8. 9.﹣4
10. 11. n!． 12. b•． 13.（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
14. （4，+∞）．
二：解答题
15：解：根据已知，，…（4分）
猜测．…（6分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=，右边=，猜想成立．…（8分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即，…（10分）
那么，，…（12分）
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（14分）
16：解：（1）由已知可得f'（x）=3x2+2ax+b，…（1分）
由…（4分）
可得；…（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），
由．…（10分）列表如下：
x
1
（1，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增
极大
减
极小
增
所以函数f（x）的递增区间为与（1，+∞），递减区间为
；…（14分）
17：解：（Ⅰ）将x=1代入函数解析式得y=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5．
y'=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），所以y'|x=1=﹣12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
由直线方程的点斜式得y+8=﹣12（x﹣1）
所以函数在x=1处的切线方程为12x+y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（Ⅱ）y'=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1）=0，
解得x=2或x=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
x∈[0，3]
由于f（0）=5，f（2）=﹣15，f（3）=﹣4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
∴ymax=5，ymin=﹣15﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
18：解：（证明：（1）设E是DC的中点，连结BE，则四边形DABE为正方形．
∴BE⊥CD，故BD=，BC=，CD=2
∴∠DBC=90°即：BD⊥BC
∵BD⊥BB1 BB1∩BC=B
∴BD⊥平面BCC1B1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（2）由（1）知∴BD⊥平面BCC1B1
BC1⊂平面BCC1B1
∴BD⊥BC1
取BD的中点F，连结A1F，A1D=A1B
A1F⊥BD
取DC1的中点M，连结FM，
则：FM∥BC1∴FM⊥BD∴BD⊥平面A1FM
过M向平面A1FM作垂线，垂足必落在A1F上，
∴∠A1FM为直线BC1与平面A1BD所成的角．
连结A1M，在△A1FM中， FM==
取D1C1的中点H，连结A1H，HM
在Rt△A1HM中，
∴=
∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
19：（1）因为圆与椭圆相交于点
所以 . 又离心率为,所以.
所以椭圆．
（2）因为过点的直线另交圆和椭圆分别于两点，所以设直线的方程
为，
由 得 ，所以，
同理得到， 所以，
因为， 则则
因为，所以，即直线的方程为.
②根据①，，
，，
所以为定值.
20：解：（Ⅰ）当 x=40时，汽车每小时耗油（升），
依题意得：，解得a=8，所以实数a的值为8．
（Ⅱ）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
设从甲地到乙地的总费用为y=f（x）元，依题意得
f（x）==，
则，
令f′（x）=0，得x=80，易知
当x∈（0，80）时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当x∈（80，120）时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．
所以当x=80时，f（x）取到极小值f（80）=120，
因为f（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的总费用最少，为120元．