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- 2021-02-26 发布
春季课程: 创新题解题策略
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
120
知识点
高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.
教学目标
能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.
教学重点
能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．
教学难点
体验“观察、猜测、抽象、概括、证明”这个发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强
教学过程
一、考纲解读
高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.
创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.
创新题具有以下特点：
一是立意的鲜明性；
二是背景的深刻性；
三是情境的新颖性；
四是设问的巧妙性
二、复习预习
创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.
三、例题精析
例1 [2014全国1卷] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
【规范解答】解法：填A
∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市
∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ。
【总结与反思】 本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论。
依据题设条件进行合情推理，很好的考查了逻辑思维能力。
例2 [2014福建卷] 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是
A． B.
C. D.
【规范解答】由题意得，从5 个无区别的红球取出若干个球对应于；从 5 个无区别的蓝球中取球，且所有的蓝球都取出或都不取出对应于；从5个有区别的黑球中取出若干个球(可分为5 类不同的黑球)对应于，根据乘法原理，故选A。
【总结与反思】 本题立意新颖,考查学生的理解能力和思维能力.
例3 [2014福建卷] 若集合且下列四个关系：①；②；③④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是___.
【规范解答】 (1)若仅有①正确，则有，，，，与集合元素的互异性不符，无解；
(2) 若仅有②正确，则有，，，，，这时，共2 个；
(3) 若仅有③正确，则有，，，，这时，共1个；
(4) 若仅有④正确，则有，，，，这时，共3 个；
综上，所求的个数为2+1+3=6个。
【总结与反思】 本题考查集合的性质及排列组合问题的计算.从“四个关系中有且只有一个是正确”入手.分类考虑逐一击破.
例4[2014湖北卷] 若函数上的一组正交函数，给出三组函数：
①；②；③
其中为区间的正交函数的组数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【规范解答】对①
则为区间上的正交函数；
对②则不为区间上的正交函数；
对③，则为区间上的正交函数。
所以满足条件的正交函数有2组，故选B。
【总结与反思】 新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，为容易题。
例5[2014湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.
该术相当于给出了圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）
A. B. C. D.
【规范解答】设圆锥底面圆的半径为r,高为h,依题意，
故选B
【总结与反思】 本题以《算数书》中求“盖”的术为背景，考查的近似计算，为中档题。解决本题的关键是题意的理解。
例6[2014辽宁卷] 已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= _________ ．
【规范解答】
解法1 填12
如图：由M关于C的焦点的对称点分别为A，B，
得分别是线段MA，MB的中点，
而MN的中点为Q，根据中位线定义，易得，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，
∴|AN|+|BN|=2×6=12．
解法2 填12
设M，N的中点坐标为P，，，,,,则
，，，，,,
所以=，
根据椭圆的定义得，
，所以|AN|+|BN|=2×6=12．
【总结与反思】 （1）本题涉及到椭圆的定义，椭圆的基本性质等基本知识点，
（2）解法1步骤较为简单：画图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，求|AN|+|BN|的值．关键是发现题中蕴含的等量关系；解法2涉及到了3个步骤：设点，求|AN|+|BN|，得结果；
（3）可涉及到数形结合思想，
（4）圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是作为每年必考的题目，题型变化较为灵活，常常与圆、直线等结合在一起，在高考中常处于偏难的位置.2014年的高考题作为15题从题目本身来说命制的较为巧妙，从位置来说相比往年高考难度而言较为简单.
例7(2014·绵阳模拟)我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线－＝1与双曲线－＝1(其中mn>0)是“相近双曲线”，则的取值范围是________．
【规范解答】记＝λ>0，双曲线－＝1的离心率为＝2，
双曲线－＝1(其中mn>0)的离心率为(当m>0，n>0)或 (当m<0，n<0时)，
依题意令①|－2|<，即－<－2<，<<，<1＋λ<，<λ<；
或令②<，－< －2<，<1＋<，<<，<λ<.
综上所述，的取值范围是∪.
答案：∪
【总结与反思】 给出新定义“相近双曲线”,实际上直接转化为离心率即可
例8已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
【规范解答】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
【总结与反思】 几何法,根据托运的定义直接找到最值时的点的位置.
例9[2014江苏卷] 已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数
在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 ▲ .
【规范解答】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找与的图象交点去推出零点，先画出[0,3]上的图像，再将轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至，发现若图象要与有10个不同的交点，则
【总结与反思】 本题主要考查函数零点问题，转为为数形结合，利用图象交点去解决问题，因为零点问题、数形结合是重要的考点和难点，但是本题考查的不是特别深，所以题目难度适中，只要能画出图象就可以解决问题。同时，这也是近年来高考的热点，同样需要注意。
例10[2014四川卷]以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质得函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，.现有如下命题：
(1)设函数的定义域为，则“”的充要条件是：“，，”；
(2)函数的充要条件是有最大值和最小值；
(3)若函数，的定义域相同，且，，则；
(4)若函数有最大值，则.
其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）
【规范解答】(1)显然是正确的，难度不大；
(2) 函数是有最大值和最小值的必要条件．
对于必要性，设，，则取，必有，
对于充分性：取，但没有最小；
(3) 利用反证法：假设，则．
又因为，所以，这与矛盾；
(4) 易知的值域为， ，所以当时，无最大值．
根据题意，，进而，所以．所以真命题为(1)(3)(4)．
课程小结
高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.