2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8-1空间几何体的结构特征及直观图课件新人教B版 28页

第八章　立体几何初步 第一节　空间几何体的 结构特征及直观图 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相 _____ 且 _____ 多边形 互相 _____ 侧棱 ___________ 相交于 _____ ， 但不一定相等 延长线交于 _____ 侧面 形状 ___________ _______ _____ 平行 相等 平行 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 2. 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 母线 互相平行且相等， _____ 于底面 相交于 _____ 延长线交于 _____ 轴截面 全等的 _____ 全等的 ___________ 全等的 _________ 圆 侧面展开图 _____ _____ _____ 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 矩形 扇形 扇环 3. 直观图 斜二测画法规则： (1) 夹角：原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x′ 轴、 y′ 轴的夹角 为 _____( 或 ______) ， z′ 轴与 x′ 轴 ( 或 y′ 轴 ) 垂直 . (2) 方向：原图形中与 x 轴、 y 轴、 z 轴平行的，在直观图中与 x′ 轴， y′ 轴， z′ 轴 _____. (3) 长度：原图形中与 x 轴、 z 轴平行的，在直观图中长度不变，原图形中与 y 轴平行的，长度变成原来的 . 45° 135° 平行 4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S 圆柱侧 =_____ S 圆锥侧 =____ S 圆台侧 =__________ 2πr l πr l π(r+r′) l 5. 空间几何体的表面积和体积公式 【常用结论】 1. 正棱锥中的四个直角三角形 (1) 高、斜高、底面边心距 . (2) 高、侧棱、底面外接圆半径 . (3) 斜高、侧棱、底面边长一半 . (4) 底面边心距、外接圆半径、底面边长一半 . 2. 直观图与原图形的面积关系 利用斜二测画法，画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形 面积的 . 3. 正四面体的性质 棱长为 a 的正四面体，其高为 a. 其内切球和外接球的球心重合， 是正四面体的中心 . 其外接球和内切球的半径分别为 a 和 a. 4. 祖暅原理 幂势既同，则积不容异 . 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 有两个平面平行 , 其余各面都是四边形的多面体是棱柱 . ( 　　 ) (2) 有一个面是多边形 , 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 . ( 　　 ) (3) 有两个面是平行的相似多边形 , 其余各面都是梯形的几何体是棱台 . ( 　　 ) (4) 用一个平面去截棱锥 , 棱锥的底面和截面之间的部分是棱台 . ( 　　 ) (5) 锥体的体积等于底面积与高之积 . ( 　　 ) (6) 已知球 O 的半径为 R, 其内接正方体的棱长为 a, 则 R= a.( 　　 ) 提示 : (1)×. 也可以是棱台 . (2)×. 棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形 . (3)×. 侧棱延长后必须交于一点 . (4)×. 必须用平行于底面的平面去截棱锥 . (5) ×. 锥体的体积等于底面积与高之积的三分之一 . (6) √. 正方体的体对角线是球的直径 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 对多面体定义理解不透彻 考点一、 T2 2 对旋转体定义理解不透彻 考点一、 T1 ， 3 3 求锥体体积，公式记错 考点二、角度 2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 2 P10 练习 AT3 改编 ) 下列说法不正确的是 ( 　　 ) A. 棱柱的侧棱长都相等 B. 棱锥的侧棱长都相等 C. 三棱台的上、下底面是相似三角形 D. 有的棱台的侧棱长都相等 【解析】 选 B. 根据棱锥的结构特征知 , 棱锥的侧棱长不一定都相等 . 2.( 必修 2 P21 练习 BT1 改编 ) 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 正方形的直观图是正方形 D. 若两条线段平行 , 则在直观图中对应的两条线段仍然平行 【解析】 选 D. 由直观图的画法规则知 , 角度、长度都有可能改变 , 而线段的平行性不变 . 3.( 必修 2 P33 习题 1-1BT6 改编 ) 已知圆锥的表面积等于 12π cm 2 , 其侧面展开图是一个半圆 , 则底面圆的半径为 ( 　　 ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 【解析】 选 B.S 表 =πr 2 +πr l =πr 2 +πr·2r=3πr 2 =12π, 所以 r 2 =4, 所以 r=2. 4.( 必修 2 P8 练习 BT1 改编 ) 在如图所示的几何体中 , 是棱柱的为 ________.( 填写所有正确的序号 )  【解析】 由棱柱的定义可判断 ③⑤ 属于棱柱 . 答案 : ③⑤ 核心素养　直观想象 —— 与球有关的切、接问题   【素养诠释】 直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态变化 , 利用图形理解和解决数学问题的过程 , 主要表现为识图、画图和对图形的想象能力 . 识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系 ; 画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换 ; 对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种 , 是空间想象能力高层次的标志 . 直观想象核心素养的体现 : (1) 是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段 ; (2) 是探索和形成解题思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础 ; (3) 形成利用图形描述 , 建立数与形的联系 , 构建直观模型的思维品质 ; (4) 增强几何直观、空间想象、数形结合的能力 . 【典例】 1.(2019 · 全国卷 Ⅰ) 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面 上 ,PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形 ,E,F 分别是 PA,AB 的中点 ,∠CEF=90°, 则球 O 的体积为 ( 　　 ) A.8 π B.4 π C.2 π D. π 2. 现有三个球和一个正方体 , 第一个球是正方体的内切球 , 第二个球与正方体的各条棱都相切 , 第三个球为正方体的外接球 , 那么这三个球的表面积之比为 ______________. 世纪金榜导学号   【素养立意】 　 与球有关的切、接问题主要考查学生的空间想象能力 , 解答时要准确掌握“切”“接”问题的处理规律 (1)“ 切”的处理 首先要找准切点 , 通过作截面来解决 , 使截面过切点和球心 . (2)“ 接”的处理 抓住外接的特点 , 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 . 【解析】 1. 选 D. 设 PA=PB=PC=2x, 点 E,F 分别为 PA,AB 的中点 , 所以 EF∥PB, 且 EF= PB=x, 因为 △ABC 是边长为 2 的等边三角形 , 所以 CF= , 又 ∠CEF=90°, 所以 CE= 　 AE= PA=x, 在 △AEC 中 , 利用余弦定理得 cos∠EAC= 　　　　　　 , 作 PD⊥AC 于 D, 因为 PA=PC, 所以 D 为 AC 中点 ,cos∠EAC= 　 所以 　 所以 2x 2 +1=2, 所以 x 2 = ,x= 　 , 所以 PA=PB=PC= , 又 AB=BC=AC=2, 所以 PA,PB,PC 两两垂直 , 所以 2R= 　　　　　　所以 R= 　 , 所以 V= 【一题多解】 选 D. 因为 PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的等边三角形 , 所以 P-ABC 为正三棱锥 , 易得 PB⊥AC, 又 E,F 分别为 PA,AB 的中点 , 所以 EF∥PB, 所以 EF⊥AC, 又 EF⊥CE,CE∩AC=C, 所以 EF⊥ 平面 PAC,PB⊥ 平面 PAC, 所以 ∠BPA=90°, 所以 PA=PB=PC= , 所以 P-ABC 为正方体一部分 ,2R= 即 R= , 所以 V= 2. 设正方体棱长为 a, 则三个球的半径分别为 , a, a, 所以它们的表面积之比为 1∶2∶3. 答案 : 1∶2∶3