2014年高考真题——理科数学（上海卷）原卷版 4页

2014 年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1． 函数 21 2cos (2 )yx 的最小正周期是 . 2. 若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 1()z z  z =___________. 3. 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 159 22  yx 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 4. 设      ],,[, ),,(,)( 2 axx axxxf 若 4)2( f ，则 a 的取值范围为_____________. 5. 若实数 x,y 满足 xy=1,则 2x + 22y 的最小值为______________. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 1)sin4cos3(  p ，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 . 8. 设无穷等比数列{ na }的公比为 q，若 )(lim 431   aaa n ，则 q= . 9. 若 2 1 3 2()f x x x  ，则满足 0)( xf 的 x 取值范围是 . 10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好 为连续 3 天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 11. 已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0，集合{a,b}={ 2a , 2b },则 ab = . 12. 设常数 a 使方程sin 3cosx x a在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 1 23,,x x x ，则 1 23x x x   . 13. 某游戏的得分为 1,2,3,4,5，随机变量 表示小白玩游戏的得分.若 () =4.2，则小白得 5 分的概率至少 为 . 14. 已知曲线 C： 24xy   ，直线 l：x=6.若对于点 A（m，0）,存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得 0AP AQ，则 m 的取值范围为 . 二、选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 15. 设 Rba , ,则“ 4ba ”是“ 2,2  ba 且 ”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， ,...)2,1( iPi 是上底面上其余的八 个点，则 ...)2,1(   iAPAB i 的不同值的个数为（ ） （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 17. 已知 ),( 111 baP 与 ),( 222 baP 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组 11 22 1 1 a x b y a x b y    的解的情况是（ ） （A）无论 k， 21,PP 如何，总是无解 （B)无论 k， 如何，总有唯一解 （C）存在 k， ，使之恰有两解 （D）存在 k， ，使之有无穷多解 18.       ,0,1 ,0,)( )( 2 xaxx xax xf 若 )0(f 是 )(xf 的最小值，则 a 的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. （本题满分 12 分） 底面边长为 2 的正三棱锥 P ABC ,其表面展开图是三角形 1 2 3PP P ，如图，求△ 的各边长及此三棱锥 的体积V . 20. （本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 1 分. 设常数 0a ，函数 a axf x x   2 2)( （1）若 a =4，求函数 )(xfy  的反函数 )(1 xfy  ； （2）根据 的不同取值，讨论函数 )(xfy  的奇偶性，并说明理由. 21. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，某公司要在 AB、 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB 长 80 米，设 在同一水平面上，从 A和 B 看 的仰角分别为 和 . （1）设计中 是铅垂方向，若要求  2 ，问 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？ （2）施工完成后. 与铅垂方向有偏差，现在实测得 ，，  45.1812.38   求 的长（结果精 确到 0.01 米）？ 22. （本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 对 于 直 线 l ： 0ax by c   和点 ),,(),,( 22211 yxPyxPi 记 1 1 2 2)( ).ax by c ax by c     （ 若 <0，则称点 21,PP 被直线l 分隔.若曲线 C 与直线l 没有公共点，且 曲线 C 上存在点 21 PP， 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线 C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点 ），（），（ 012,1 BA 被直线 01 yx 分隔； ⑵若直线 kxy  是曲线 14 22  yx 的分隔线，求实数 k 的取值范围； ⑶动点 M 到点 ）（ 2,0Q 的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E，求证：通过原点的直线中， 有且仅有一条直线是 E 的分割线. 23. （本题满分 18 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分. 已知数列{}na 满足 11 1 3 , *, 13 n n na a a n N a    . （1）若 2 3 42, , 9a a x a   ，求 x 的取值范围； （2）若 是公比为 q 等比数列， 12nnS a a a    ， 1 1 3 , *,3 n n nS S S n N   求 的取值范围； （3）若 12, , , ka a a 成等差数列，且 12 1000ka a a    ，求正整数 k 的最大值，以及 取最大值 时相应数列 12, , , ka a a 的公差.