2017-2018学年甘肃省武威第五中学高二下学期第一次检测数学（理）试题 Word版 6页

‎2017-2018学年甘肃省武威第五中学高二下学期第一次检测数学（理）试卷 命题人：张建龙 一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)‎ A．1　　　B.　　　C．－　　D．－1‎ ‎2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎3．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，则a的值等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎4．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是(　　)‎ A．(，) B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π)‎ ‎5．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(6)>，f(8)>3，f(10)>，观察上述结果，可推测出一般结论为(　　)‎ A．f(2n)＝ B．f(2n)> C．f(2n)≥ D．f(n)> ‎6．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)‎ A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k‎2 C．(k＋1)2 D. (k＋1)[2(k＋1)2＋1]‎ ‎7．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) ‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) ‎ ‎8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是(　　)‎ A. B. C. D．9‎ ‎9．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)‎ A．－5 B．7 C．10 D．－19‎ ‎10．函数的图象大致是（ 　）‎ ‎11.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ ‎12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）‎ A．(－3，0)∪(3，+∞) B．(－3， 0)∪(0，3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数，的最大值为__________．‎ ‎14．函数在R上为减函数，则实数的取值范围是______________．　 ‎ ‎15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．‎ ‎16．如果函数的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：‎ ‎① 函数在区间内单调递增；‎ ‎② 函数在区间内单调递减；‎ ‎③ 函数在区间内单调递增；‎ ‎④ 当时，函数有极小值；‎ ‎⑤ 当时，函数有极大值.‎ 则上述判断中正确的是____________‎ 三．解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（10分）求下列函数的导数：‎ ‎(1)； (2)；‎ ‎18．（14分）设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.‎ ‎19．(14分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax (a>0)．‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．‎ ‎20．(16分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内当x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应点的切线方程；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．‎ ‎21．（16分）设函数在及时取得极值．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．‎ ‎2017——2018学年第二学期武威五中高二年级数学(理)答案 一、选择题：‎ ACDCC BDBAB BD 二、填空题：‎ 13、 ‎ 14、 15、 　 16、③‎ 三、解答题;‎ ‎17、解：(1)因为，所以 ‎ (2)因为=，所以 ‎18、证明　法一　分析法 要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．‎ 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，‎ 又因a＋b＞0，‎ 只需证a2－ab＋b2＞ab成立，‎ 只需证a2－2ab＋b2＞0成立，‎ 即需证(a－b)2＞0成立．‎ 而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．‎ 由此命题得证．‎ 法二　综合法 a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0‎ ‎⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.‎ 注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得 ‎(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．‎ ‎∴a3＋b3＞a2b＋ab2.‎ ‎19、解:　函数f(x)的定义域为(0,2)，‎ f′(x)＝－＋a.‎ ‎(1)当a＝1时，f′(x)＝，‎ 所以f(x)的单调递增区间为(0，)，‎ 单调递减区间为(，2)．‎ ‎(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x ‎)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.‎ ‎20、解:　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.‎ 又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，‎ 所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．‎ 所以a＝－1＋，－＝(－1)×.‎ 于是a＝－，b＝2，‎ 则f(x)＝－x3－x2＋2x.‎ 当x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．‎ 又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，‎ 所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，‎ 即为8x＋y＋14＝0.‎ ‎(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－2‎ ‎(－2，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，)‎ ‎(，1)‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎2‎  ‎－   则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.‎ ‎21、解：（1），‎ 因为函数在及取得极值，则有， ．‎ 即 解得，．‎ ‎（2）由（1）可知，，则．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 所以，当时，取得极大值 又，．‎ 则当时，的最大值为 因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或 因此的取值范围为