数学文卷·2018届河南省长葛市第一高级中学高三12月月考（2017 9页

河南省长葛市第一高级中学2017-2018学年高三12月月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则中整数元素的个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6 ‎ ‎2．设，为虚数单位，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，则“”是“与反向”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设，定义运算：，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为10升；则下列判断正确的是（ ）‎ A．依次成公比为2的等比数列，且 ‎ B．依次成公比为2的等比数列，且 ‎ C．依次成公比为的等比数列，且 ‎ D．依次成公比为的等比数列，且 ‎6．若函数在上递减，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．36 B．42 C．48 D．64‎ ‎8．定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设变量满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：‎ ‎：若，则此四棱锥的侧面积为；‎ ‎：若分别为的中点，则平面；‎ ‎：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.‎ 在下列命题中，为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数在上的图象为（ ）‎ ‎12．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数的定义域为 ．‎ ‎14．设向量满足，则 ． ‎ ‎15．若函数的图象相邻的两个对称中心为，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则 .‎ ‎16．设为数列的前项和，，且，则 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）若，的面积为2，且为钝角，求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎18．设为数列的项和，，数列满足，.‎ ‎（1）求即；‎ ‎（2）记表示的个位数字，如，求数列的前项和.‎ ‎19．已知向量，函数，.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）求在上的值域；‎ ‎（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.‎ ‎20．如图，在三棱锥中，，平面，，，，且.‎ ‎（1）若为上一点，且，证明：平面平面；‎ ‎（2）若为棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）是否存在实数，使得在上的最大值为，若存在，求满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.‎ ‎（1）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.‎ ‎（2）设，证明：在上的最小值为定值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：BBCDD 6-10：BCCDA 11、12：AA 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）解：由的面积为2得，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎（2）∵，∴，∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，从而.‎ ‎18.解：（1）当时，，‎ 由于也满足，则 ‎∵，，∴，‎ ‎∴是首项为3，公差为2的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴的前5项依次为1,3,5,7,9.‎ ‎∵，的前5项依次为3,5，7,9,1‎ 易知，数列与的周期均为5，‎ ‎∴的前20项和 ‎.‎ ‎19、(1)∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴或.‎ ‎（2）‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 故在上的值域为.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴的图象关于直线对称.‎ ‎20、（1）证明：由底面，得，‎ 又，故平面 ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：∵，‎ ‎∴，则 ‎∵平面，平面，平面平面，‎ ‎∴，∴‎ 过作，交于点，则 ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎21、解：（1），‎ 当时，在上递增 当即或时，，∴在上递减 当且时，令得 令得；令得 ‎∴在上递增，在上递减.‎ 综上，当时，在上递增；当或时，，∴在上递减；‎ 当且时，在上递增，在上递减.‎ ‎（2）易知，在上递增，在上递减.‎ ‎∴‎ ‎∴，即，‎ 设，易知为增函数，且，‎ ‎∴的唯一零点在上，∴存在，且的个数为1.‎ ‎22、（1）∵，∴令得，‎ 由题意可得，解得 ‎，，‎ 当，即时，无极值；‎ 当，即时，令得；‎ 令得或 ‎∴在处取得极小值.‎ 当，即时，在上无极小值，‎ 故当时，在上有极值，‎ 且极小值为 即 ‎∵，∴，∴‎ 又∵，∴.‎ ‎（2）证明：‎ 设，，‎ ‎∵，∴，又，∴，‎ ‎∴，∴在上递增 ‎∴‎ 令得；令得 ‎∴为定值. ‎