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- 2024-01-07 发布
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湖北省沙市中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．是虚数单位，复数满足，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数运算化简为的形式，再求.
【详解】
依题意，故，故选B.
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】
试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．
考点：命题的否定．
3．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设分别是上下顶点，是右顶点，求得的斜率，根据直线的斜率之积为列方程，求得的值，由此求得椭圆的离心率.
【详解】
不妨设分别是上下顶点，是右顶点，即，所以，，故离心率.故选B.
【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题.
4．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B。
点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解。
5．“ ”是“不等式对一切实数x恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据“不等式对一切实数恒成立”,求得的取值范围.然后根据充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.
【详解】
，故，，故，即“不等式对一切实数恒成立”时.故“ ”是“”成立的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式恒成立问题，属于中档题.
6．,且与互相垂直，则的值 ( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知，，，因为与互相垂直，所以 ，即，，．故选D．
考点：两向量垂直．
7．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数求导，导函数在区间上恒为非正数，分离常数后，利用函数的最值求得的取值范围.
【详解】
依题意在区间上恒成立，在区间上恒成立，函数在区间上递减，在区间上递增，，故，故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数单调性问题，考查分离常数法，属于中档题.
8．已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得，化简不等式即得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】
因为过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，
所以
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
9．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由几何图形可得，然后两边平方，根据向量的数量积可得
，进而得到的长度．
【详解】
因为，
所以||2=()2
=||2+||2+||2)
．
故A1C的长为．
故选A．
【点睛】
本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点．
10．已知，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
原命题等价于，再求解不等式即得解.
【详解】
，使得成立，则，
由题得，
所以函数f(x)在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，
所以，
由题得，
∴
故选:C
【点睛】
本题主要考查不等式的存在性问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设则，由题意可知，所以在上单调递增，所以即，所以，故选A.
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性问题，属于中档题.解答本题的关键是根据题目的条件合理构造函数从而利用题目的条件判断函数的的单调性，然后结合选项逐个进行判断，解答这类问题时，同学们应把握好涉及到导数的问题主要是利用导数的符号，如何利用已知条件构造函数是解题的突破口.
12．已知a为常数，函数有两个极值点则（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
求导得: .易得在点P（1，0）处的切线为.当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，
. .选D
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知，若为互质的正整数)，由以上等式，可推测的值，则________.
【答案】41
【解析】
【分析】
将每个式子化为统一的形式，，，归纳得到第n个式子，再由特值得到结果.
【详解】
根据题意，对于第一个式子；
第二个式子；
第二个式子；
分析可得：第个式子可得，
当时，，即，即.
【点睛】
归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
14．__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将定积分分为两个积分的和，再分别求出定积分．由定积分的几何意义知 表示圆的面积的二分之一，问题得以解决
【详解】
由定积分的几何意义知表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，即，
∴
【点睛】
本题重点考查定积分的计算，考查定积分的几何意义， 求定积分有三种方法：定义法（不常用），利用微积分定理求定积分，和利用定积分的几何意义求定积分。
15．已知是椭圆的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P在线段AB上，则的取值范围是 ________.
【答案】
【解析】由是椭圆的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得 ， ，设 ，因为点P在线段AB上，所以， ，故答案为.
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______
【答案】
【解析】
【分析】
对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得的值.
【详解】
依题意，，设直线与相切切点的横坐标为，即切点为，设直线与相切切点的横坐标为，即切点为，令，解得，故直线与相切切点为.由此求出两条切线方程为和；即和，故，，故.
【点睛】
本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知,命题：对任意，不等式恒成立；命题：曲线 在任意一点处的切线斜率均大于．
(Ⅰ）若为真命题，求的取值范围；
(Ⅱ）若命题是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ）;(Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ）由题得解不等式即得m的范围；(Ⅱ）先化简命题q,得m≤2，再根据命题是真命题，求实数的取值范围.
【详解】
(Ⅰ）由题得.
(Ⅱ）因为 在任意一点处的切线斜率均大于，所以.
因为命题是真命题，所以且m≤2，所以.
【点睛】
本题主要考查不等式的恒成立问题，考查导数的几何意义，考查复合命题的真假的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．现将一根长为180 cm的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
【答案】长宽高分别为时，体积取得最大值为
【解析】
【分析】
先设出长方体的长宽高，利用周长求得高的表达式，求出体积的表达式，利用导数求得体积的最大值，并求出此时相应的长宽高.
【详解】
设长方体长为，宽为，高为，则，即，.长方体的体积为.由得.，故在上递增，在上递减，在处取得最大值，且最大值为，此时长宽高分别为.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求长方体体积的最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线与曲线交于点、，以线段为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线的方程，若不能请说明理由.
【答案】（1）；（2）能，直线的方程为：.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义求得，根据两个定点求得，由此求得，进而求得曲线的方程.（2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理.根据直径所对的圆周角为直角，得到，即
，将前面韦达定理得到的表达式代入，化简求得的值，由此求出符合题意的直线的方程.
【详解】
(1)设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴，故曲线C的方程为.
(2)设直线，分别交曲线C于，，其坐标满足 ,消去并整理得.故 ，.若以线段AB为直线的圆过坐标原点，则，即,
而，于是
化简得，所以，所以 直线的方程为：
【点睛】
本小题主要考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查平面向量的坐标运算，属于中档题.
20．如图，四棱锥，底面是边长为2的菱形， ，且平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角为，试求线段的长.
【答案】（1）见解析；（2）线段的长为.
【解析】试题分析：（1）由已知结合线面垂直的性质可得BD⊥PA，再由四边形ABCD是菱形，得BD⊥AC，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面PBD；
（2）取DC的中点E，由已知可得AE⊥CD，分别以AE、AB、AP为x、y、z
轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=m（m>0）．求出A、P、C、D的坐标，得到平面PCD与平面PAB的法向量，由两法向量所成角的余弦值列式求得线段PA的长．
试题解析：
（Ⅰ）证明： 平面 ，
四边形是菱形，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）取的中点，由题易证，分别以为轴，
建立空间直角坐标系 (如图)，
设．
所以
设平面的法向量为,根据，
得，
令，则．
平面的法向量可取，
由题， ，解得，
所以线段的长为．
点睛：利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角．即设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|。
21．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
（1）当时，求△的面积的最小值；
（2）若且，证明：直线过定点，并求定点坐标。
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
【分析】
设出所在的直线方程，代入抛物线方程，写出韦达定理，得出点坐标，设出直线的方程，代入抛物线方程，同理得出点坐标. （1）利用面积公式求得面积的表达式，并利用基本不等式求得面积的最小值.（2）先求得直线的斜率，根据点斜式求得直线所在直线方程，利用的表达式进行化简，由此求得定点.
【详解】
所在直线的方程为，代入中，得，设，则有，从而．则．设所在直线的方程为，同理可得．
（1），． 又，故，于是△的面积 ，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为.
（2），所在直线的方程为，
即．又，即，代入上式，得
，即 ．∵，∴是此方程的一组解，所以直线恒过定点．
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程，考查三角形面积最值的求法，考查直线恒过定点问题，属于中档题.
22．已知函数，且时有极大值.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据在时f(x)有极大值得或，再检验舍去，即得函数f(x)的解析式；（Ⅱ）原命题等价于，记，证明，原命题等价于等价于，记，求出k的最大值.
【详解】
（Ⅰ）由，因为在时f(x)有极大值，
所以，从而得或，
时，，此时，当时，，当时，
，∴在时f(x)有极小值，不合题意，舍去；
时，，此时，符合题意。
∴所求的 .
（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于
，即，
记，则,
由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，
所以，
对任意正实数恒成立，等价于，
即，
记因为在(0,+∞)上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值为4.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.