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- 2024-01-04 发布
油田实验中学2016-2017学年度第二学期期中考试
高 二 数 学 试 题（理科）
命题人：陈洪岩 2017.5.9
（本卷共2页．满分为150分．考试时间120分钟．只交答题页）
第I卷（选择题, 共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求）
1．复数z＝的共轭复数是 ( )
A.＋i B.－i C．1－i D．1＋i
2. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
3．下列积分的值等于1的是 （ ）
A． B. C． D．
4. 若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于 的是( )
A．P(ξ＝0) B．P(ξ≤2) C．P(ξ＝1) D．P(ξ＝2)
5．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以＞0”，你认为这个推理 （ ）
A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的
6．本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是 （ ）
A． B． C． D．
7. 用反证法证明“如果a>b，那么＞”假设的内容应是 （ ）
A. = B. ＜
C. =且＜ D. =或＜
8．设函数的导函数为，且，则 （ ）
A．0
B．
C．
D．2
9．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （ ）
A．40种 B.60种 C. 100种 D. 120种
10．展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
11．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75 C． 0.6 D．0.45
12．已知有极大值和极小值，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若复数为纯虚数，则实数的值等于 ．
14．若，则的值为__________.
15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝3－4+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.
16． 展开式中的系数是 .
三、解答题（本题共6小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（本小题满分10分）设随机变量X的分布列P＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥)；
(3)求P.
18.（本小题满分12分）三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
19. （本小题满分12分）已知的第5项的二项式系数与第3 项的二项式系数之 比为14:3,求n及展开式中的常数项．
20.（本小题满分12分）袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
21.（本小题满分12分）在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．
22. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
班级 姓名 学号
装 订 线
参考答案
一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分）
1 B 2D 3 C 4 C 5 A 6 A 7 D 8 B 9 B 10 A 11A 12 D
二 填空题 （本大题共4小题，每题5分，共20分）
13 、 0 。 14 、 1 。
15、 2x-y+4=0 。 16、 。
三 解答题
17．(10分) [解析] (1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，得a＝.
(2)因为分布列为P＝k (k＝1、2、3、4、5)
解法一：P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝；
解法二：P＝1－＝1－＝.
(3)因为＜X＜，只有X＝、、时满足，故P＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
18．（12分）
(1) 4320；
(2) 14400；
(3) 14400；
(4) 720
19.（12分） 解：第三项的二项式系数为，第五项的二项式系数为，由第三项与第五项的二项式系数之比为可得n＝10，
则＝，
令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为.
20．（12分）解：(1)从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红．
分别得分为5分，6分，7分，8分．故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
21．（12分）
解：（1）由已知，，分别取，
得，，
，
，
所以数列的前5项是：，．
（2）由（1）中的分析可以猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，公式显然成立．
②假设当时成立，即，那么由已知，
得，即，
所以，即，
又由归纳假设，得，
所以，即当时，公式也成立．
由①和②知，对一切，都有成立．
22．（12分）
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3.
f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
①若00等价于即
解不等式组得－52，则0<<.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－，0)
0
(0，)[]
(，)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
当x∈[－，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得