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- 2024-01-04 发布
专题37+数学归纳法
1．用数学归纳法证明“3n≥n3(n≥3，n∈N)”时，第一步证明中的初始值为( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
【答案】：C
【解析】：由题意知n0＝3.
2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
【答案】：D
【解析】：由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项，故选D.
3．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<.则可归纳出1＋＋＋＋…＋＋小于( )
A. B．
C． D．
【答案】：A
4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
根据(1)和(2)可知对任何n∈N*，＜n＋1都成立．则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】：D
【解析】：在证明n＝k＋1时，没有用到归纳假设，所以选D.
5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an 的表达式为( )
A. B．
C. D．
【答案】：C
6．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取 ( )．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】 B
【解析】 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
7．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 ( )．
A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立
D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立
【答案】 D
【解析】 A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．
8．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 ( )．
A. B．－
C.－ D.＋
【答案】 C
9．对于不等式n2＋2n.
①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；
②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)
都有2n>n2＋2n成立．
17．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；
(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
即xn＋1－xn＝－x＋c>0，即证xn<对任意n≥1成立．
下面用数学归纳法证明当0xn，即{xn}是递增数列．
由①②知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.
18．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
19．已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan.
(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；
(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．
【解析】(1)解 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.
∵48＋4r＝64，∴r＝4.
(2)证明 用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.
①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．
②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，
T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k
＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n.
20．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋λa＋(n∈N*)．
(1)若λ＝μ＝1，证明数列{lg(an＋1) }为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若λ＝0，是否存在实数μ，使得an≥2对一切n∈N*恒成立？若存在，求出μ的取值范围，若不存在，说明理由．
(2)方法一：由a2＝2a1＋＝4＋≥2，得μ≥－3，
猜想μ≥－3时，对一切n∈N*，an≥2恒成立．[zzstep
①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，ak≥2，
则由an＋1＝得
ak＋1－2＝＝
≥＝≥0，
∴n＝k＋1时，ak＋1≥2，猜想成立．
由①②知，当μ≥－3时，对一切n∈N*，恒有an≥2.[]