2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二3月月考数学（文）试题 解析版 15页

绝密★启用前 甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二3月月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是 A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.‎ 考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.‎ ‎3．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）‎ A．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人 B．根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质 C．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分 D．在数列中，，计算由此归纳出的通项公式 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据演绎推理的特点可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于B，推理的方法是类比推理，对于D，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于C，推理的方法是演绎推理.‎ ‎【点睛】‎ 推理有归纳推理、类比推理和演绎推理，其中归纳推理是从具体的例子得到一般的结果，而演绎推理则是由大前提、小前提和结论三部分构成，其中小前提必要蕴含在大前提中.‎ ‎4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）‎ A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于 C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．‎ 详解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°， ∴第一步应假设结论不成立， 即假设三个内角都大于60°． 故选：B．‎ 点睛：此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．‎ ‎5．如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在 A．“集合的概念”的下位 B．“集合的表示”的下位 C．“基本关系”的下位 D．“基本运算”的下位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为集合的基本关系包含了“子集”这一关系，故选C.‎ 考点：知识结构图.‎ ‎6．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ）‎ A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以， 因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.‎ ‎7．下表为某班5位同学身高（单位：）与体重（单位）的数据，若两个变量间的回归直线方程为，则的值为（ ）‎ 身高 ‎170‎ ‎171‎ ‎166‎ ‎178‎ ‎160‎ 体重 ‎75‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎85‎ ‎65‎ A．121.04 B．123.2 C．21 D．45.12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出后可得.‎ ‎【详解】‎ ‎，故，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，线性回归方程对应的直线必经过点.利用这个性质可求回归方程中的参数.‎ ‎8．直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，利用点到直线的距离小于或等于半径可得 的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 曲线即为，它化成直角坐标方程是，‎ 该方程对应的曲线为圆：，故，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．极坐标系中直线与曲线的位置关系的讨论可转化为直角坐标系中直线与曲线的位置关系.‎ ‎9．已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，‎ 而面积与体积进行类比，则的面积为，‎ 对应于四面体的体积为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．‎ ‎10．若正实数满足，则（ ）‎ A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊的的值得到A,B,C都不成立，可以证明D是正确的.‎ ‎【详解】‎ 对于A，取，则，故A错误；‎ 对于B，取，则，故B错误；‎ 对于C，取，则，故C错误；‎ 对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.‎ ‎【点睛】‎ 应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.‎ ‎11．（题文）如果执行下面的程序框图，那么输出的 A．2450 B．2500 C．2550 D．2652‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．‎ 试题解析：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加并输出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．‎ ‎∵S=2×1+2×2+…+2×50=2××50=2550‎ 故选C 考点：设计程序框图解决实际问题．‎ ‎12．在极坐标系中，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2， 则的值为（ ）‎ A．2 B．－2 C．±2 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线和圆的极坐标方程均化成直角坐标方程，利用点到直线的距离等于半径的一半可得的取值.‎ ‎【详解】‎ 曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程后为，它是圆的方程，‎ 曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程后为，它是直线的方程，‎ 因为圆上有3个不同的点到直线的距离为，故圆心到直线的距离为，‎ 所以，故，选C.‎ ‎【点睛】‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．极坐标系中直线与曲线的位置关系的讨论可转化为直角坐标系中直线与曲线的位置关系.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．是虚数单位，_____.（用的形式表示，）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用虚数单位的性质可得计算结果.‎ ‎【详解】‎ 原式 ，填.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，对于虚数单位，有，，，.‎ ‎14．在极坐标系中，若过点且与极轴平行的直线交曲线于两点，则=________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把点的极坐标化成直角坐标，把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程后联立方程组可得的长．‎ ‎【详解】‎ 点对应的直角坐标为，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：‎ ‎，平行于极轴的直线对应的直角坐标方程为，‎ 在圆的直角坐标方程中令，则，故，填．‎ ‎【点睛】‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．另外，常见的圆的极坐标方程有如下几种：‎ ‎（1）；（2）（圆心在极轴上）；（2）（圆心在过极点且垂直于极轴的直线上）．‎ ‎15．已知函数在上是增函数,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，故在上恒成立，参变分离后可得参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为是上的增函数，故在上恒成立，‎ 即在上恒成立，故在上恒成立，‎ 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，‎ 所以，故填.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎16．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为,则_______；_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用归纳法可得，从而可得的值，再利用裂项相消法可求给定的和．‎ ‎【详解】‎ 由图可以得到， ，‎ 依次类推，则有，所以，‎ 又 ‎ ‎，‎ 故分别填：.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）归纳法可分为不完全归纳和完全归纳，注意不完全归纳得到的结论不一定正确（必要时应给予证明）.‎ ‎（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数，若.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数的四则运算法则可得，从而得到.‎ ‎（2）化简原来的复数方程可得，利用复数相等的条件可得.‎ ‎【详解】‎ ‎，故，‎ 所以，整理得到，‎ 因为，所以，解得，‎ 故实数的值分别为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的四则运算、复数的概念，注意两个复数相等的充要条件是实部对应相等，虚部对应相等.解复数方程常见的方法是复数问题实数化（即把复数问题转化为实部和虚部的问题）.‎ ‎18．某产品的广告支出(单位：万元)与销售收入(单位：万元)之间有下表所对应的数据：‎ ‎（1）画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）求出对的线性回归方程；‎ ‎（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）散点图见解析；（2） ；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中数据绘制散点图即可.‎ ‎（2）利用公式计算线性回归方程.‎ ‎（3）利用（2）得到的线性回归方程计算相应的销售收入.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）散点图如图：‎ ‎ ‎ ‎（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近， ‎ 于是，‎ 代入公式得：‎ ‎，‎ 故与的线性回归方程为，其中回归系数为，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入平均增加万元． ‎ ‎（3）当万元时，（万元）．‎ 所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．‎ ‎【点睛】‎ 回归方程的计算必须先根据散点图的形状选择合适的拟合函数，必要时需要对拟合函数变形，以便转化为线性回归方程来计算．‎ ‎19．有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如图的列联表. 已知在全部105人中随机抽取一人为优秀的概率为.‎ ‎（1）请完成上面的列联表；‎ ‎（2）根据列联表的数据,若按的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”；‎ ‎（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到8或9号的概率.‎ 参考公式和数据: ‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）能；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题设中给出的数据可完成列联表.‎ ‎（2）根据公式计算的值，结合表中给出的数据可判断成绩与班级有关系（有的把握）.‎ ‎（3）分别计算基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用公式可得所求概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 合计 ‎（2）根据列联表的数据，得到，‎ 因此有的把握认为成绩与班级有关系. ‎ ‎（3）设“抽到或号”为事件，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 ‎，所有基本事件有 共36个．‎ 事件包含的基本事件有 ，共9个，故.‎ ‎【点睛】‎ 古典概型的概率的计算，关键是确定随机试验中基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，注意古典概型的基本事件的总数是有限个且每个基本事件是等可能发生的.‎ ‎20．将椭圆上每一点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线.‎ ‎（1）写出曲线的方程；‎ ‎（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用变换前后对应点的坐标关系可得曲线的方程．‎ ‎（2）先计算的坐标，求出它们的中点后可得所求直线的直角坐标方程，最后再把它转化为极坐标方程即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由伸缩变换得代入椭圆方程， 得到，‎ 即曲线的方程为. ‎ ‎（2）由 ，解得或，‎ 不妨设，则线段的中点坐标为，‎ 所求直线斜率为，于是所求直线方程为即，‎ 化为极坐标方程，并整理得即.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．‎ ‎（2）求曲线的极坐标方程，可先求出它的直角坐标方程，然后再转化为极坐标方程．‎ ‎21．在极坐标系中，曲线的方程为是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线. ‎ ‎（1）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点为原点，以极轴为轴的正半轴）中，求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对应的极坐标关系可求的极坐标方程．‎ ‎（2）在的极坐标方程中令后可得的极径，从而可得的长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动点，则，将其代入得，即，‎ 化为直角坐标方程为． ‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 ‎.射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为.所以.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，在极坐标系中，若已知动点在曲线运动变化，且动点的极坐标满足，那么动点的极坐标方程是．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）设实数k使得恒成立，求k的取值范围.‎ ‎（2）设.若函数在区间内有两个零点，求k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设.‎ 则.‎ 令.‎ 当x在区间（0，+ ∞ ）上变化时，、的变化情形如表2.‎ 表2‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 增 减 由表2，知当时，取得取大值.‎ 又由已知对任意的，恒有.‎ 故k的取值范围是.‎ ‎（2）令得.‎ 由表2，知在区间内为增函数，在区间内为减函数.‎ 注意到，‎ ‎.‎ 当时，函数在区间内有两个零点.‎ 从而，k的取值范围是.‎