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- 2023-12-27 发布
洛阳市2018—2019学年上学期尖子生第一次联考
高三数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2. 考试结束，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，B={x|y=ln(2-x)}，在A∩B=
A. (1，3) B. (1，3] C. [-1，2) D. (-1，2)
2. 设复数(i为虚数单位)，则z的虚部为
A. -1 B. 1 C. –i D. i
3. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10，50]，期中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n=
A. 180 B. 160
C. 150 D. 200
4. 已知，则
A. B. C. D.
5. 已知实数x，y满足，则的最大值为
A. 3 B. C. 2 D.
6. 已知双曲线(t＞0)的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则双曲线的离心率为
A. B. 2 C. 4 D.
7. 已知函数，则的图像大致为
A. B. C. D.
8. 已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则
A. 1 B. C. 2 D.
9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
10. 如图，已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为
A.
B.
C.
D.
11. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为
A. B. C. D.
12. 已知函数，则关于x的不等式
的解集为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知矩形ABCD的边AB=2， AD=1， 则__________.
14. 直线ax-y+3=0与圆相交于A、B两点且， 则a=__________.
15. 已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式
__________.
16. 已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且AC=BD=4，AD=BC=，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是__________.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2a-c)cosB=bcosC，
.
(1) 求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，求实数的取值范围.
18. (本小题满分12分)
在2018年3月洛阳第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图:
(1)如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人.
①从(1)中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率.
②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计
参考数据：①；
②
0.50
0.40
…
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
…
6.635
7.879
10.828
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，
.
(1)求证：AB1⊥CC1；
(2)若，D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C-B1C1D1的体积为，求.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个焦点为N，△F2MN的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P、Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)当a=4时，求曲线在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若时，，求a的取值范围.
选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程(10分)
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程是
（为参数）.
(1)求曲线C1的直角坐标方程及C2的普通方程；
(2)已知点，直线l的参数方程为 （t为参数），设直线l与曲线C1相交于M，N两点，求的值.
23. 选修4-5：不等式选讲(10分)
已知函数.
(1)求函数的最小值k；
(2)在(1)的结论下，若正实数a，b满足，求证：.
洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考
高三数学试题(文科)参考答案
一、选择题
1-5 CBABD 6-10 BBCBA 11-12CC
二、填空题
13. 4 14. 1 15. 16.
三、解答题
17. (1)因为(2a-c)cosB=bcosC，由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，……1分
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA， ……3分
因为sinA≠0，所以. ……4分
因为，所以. ……6分
(2)因为，
由正弦定理得：，所以， ……8分
因为，且三角形为锐角三角形， ……10分
所以，所以. ……12分
18. 解：(1)我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，
语文成绩特别优秀的概率为P1=1-0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，数学成绩特别优秀的同学有100×0.04=4人；
……2分
(2)①语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人， ……3分
记两科都优秀的3人分别为A1，A2，A3，单科优秀的3人分别为B1，B2，B3，从中随机抽取2人，共有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共15种，其中这两人两科成绩都优秀的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3) 3种，则这两人两科成绩邰优秀的概率为： ……7分
②2×2列联表:
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
……10分
∴
∴有95%的把握认为语文特别优秀的同学，数学页特别优秀. ……12分
19. 证明：(1)连AC1，CB1，
∵在三棱锥ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，
∴△ACC1和△B1CC1皆为正三角形. ……2分
取CC1的中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，
∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，
∵平面OAB1，∴CC1⊥AB1. ……5分
(2)解：∵，
∴又(1)知，OA=OB1=3，∴，
∴OA⊥OB1，∴OA⊥平面B1C1C， ……8分
，
∴， ……10分
∵D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C-B1C1D1的体积为，
∴， ……11分
∴. ……12分
20. 解：(1)因为△F1MN的周长为，所以即， ……1分
由直线MF1的斜率1，得，因为，所以b=1，c=1， ……2分
所以椭圆的标准方程为. ……3分
(2)由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得
解得，所以，因为，即
所以，所以 ……7分
当直线l的斜率为0时，不符合题意. ……8分
故设直线l的方程为x=my-1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由点P在点Q的上方，
则， ……9分
联立
所以，所以，……10分
消去y1得，，所以，
得，， ……11分
又点P在点Q的上方不符合题意，所以，
故直线l的斜率为. ……12分
21. 解：(1)的定义域为，当a=4时，
，， ……1分
∴
曲线在(1，f(1))处的切线方程为 2x+y-2=0 ……3分
(2)当时，等价于 ……4分
设，则，
①当a≤2，时，，
故，在上单调递增，因此； ……8分
②当a＞2时，令，得，，
由，和得，
故当时，，在单调递减，
此时，综上a的取值范围是. ……12分
22. 解：(1)因为，所以，
所以 ……2分
因为，所以 ……4分
(2)将直线l的参数方程代入得，
设M，N两点对应的参数为t1，t2，则 ……6分
所以
……10分
23. 解：(1)因为
所以函数的最小值为3. ……5分
(2)由(1)知，
因为
所以
所以. ……10分