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- 2023-12-25 发布
巢湖市柘皋中学 2017-2018 学年第一学期
高二第一次月考数学试卷
一、选择题(本大题共 15 小题，共 60.0 分)
1.如图是水平放置的△ABC 的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC 是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.下列命题中正确的是（ ）
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若 A，B，C，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A. 12 B. C. D.4
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、
G 分别是边 BC、CD 上的点，且 = = ，则（ ）
A.EF 与 GH 互相平行
B.EF 与 GH 异面
C.EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上
D.EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上
5.当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥轴截面的顶角等于（ ）
A.45° B.60° C.90° D.120°
6.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比
为（ ）
A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D.1：3：9
7.在下列图形中，G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN
是异面直线的图形有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
8.已知 m，n 表示两条不同直线，α表示平面，有下列四个命题，其中正确的命题的个数
（ ）
①若 m∥α，n∥α，则 m∥n；②若 m∥n，n⊂α，则 m∥α；③若 m⊥α，m⊥n，则
n∥α；④若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
A.3 个 B.2 个 C.1 个 D. 0 个
9.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中
心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角
的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
10.如图所示，设 E，F，E1，F1 分别是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB，CD，
A1B1，C1D1 的中点，则平面 EFD1A1 与平面 BCF1E1 的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
11.下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，
能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
12.如图，四棱锥 P-ABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且
MN∥平面 PAD，则（ ）
A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能
二、填空题(本大题共 5 小题，共 20.0 分)
13.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下四个判
断中，正确的序号是 ______ ．
①BM 与 ED 平行；②CN 与 BE 是异面直线；③CN 与 BM 成 60°角；
④DM 与 BN 是异面直线．
14.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球
的表面积等于 ______ ．
15.一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π，该圆柱的表面积为 ______ ．
16.
如图，平面α∥β∥γ，直线 l、m 分别与α、β、γ相交于点 A、B、
C 和点 D、E、F．若 ，DF=20，则 EF= ______ ．
三、解答题(本大题共 8 小题，共 70.0 分)
17.如图，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1，它的上底面是边长为 2 的正方形，
下底面是边长为 4 的正方形，侧棱长为 2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积和体
积．
18.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，
A1C1 的中点，求证：
（1）B，C，H，G 四点共面；
（2）平面 EFA1∥平面 BCHG．
19.如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的
面 A1B1BA 和面 ABCD 对角线上的点，且 A1P=AQ，证明：PQ∥
平面 BCC1B1．
20.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边形，M 为 PC
中点．
（1）求证：BC∥平面 PAD；
（2）求证：AP∥平面 MBD．
21.在多面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线
的交点，三角形 CDE 是等边三角形，棱 EF∥BC 且
EF= BC=2．求证：FO∥平面 CDE．
22.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，
E、F、G 分别是 BC、CD 和 SC 的中点．求证：
（1）直线 EG∥平面 BDD1B1；
（2）平面 EFG∥平面 BDD1B1．
巢湖市柘皋中学 2017-2018 学年第一学期高二第一次月考数学
答案和解析
【答案】
1.C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.D 9.B 10.A 11.B 12.B
13.②④
14.20π
15.6π
16.15
17.解：∵正四棱台的上底面是边长为 2 的正方形，下底面是边长为 4 的正方形，
∴上底面、下底面的面积分别是 4，16，
∵侧棱长为 2，侧面是全等的等腰梯形，
∴侧面的高为 ，
∴侧面的面积为 ．
∴四棱台的表面积为 ．
18.证明：（1）∵G、H 分别为 A1B1，A1C1 中点，∴GH∥B1C1，
∵三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC∥B1C1，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G 四点共面；
（2）∵E、F 分别为 AB、AC 中点，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B1C1∥GH
又∵E、G 分别为三棱柱侧面平行四边形 AA1B1B 对边 AB、A1B1 中点，
∴四边形 A1EBG 为平行四边形，A1E∥BG
∴平面 EFA1 中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行
∴平面 EFA1∥平面 BCHG．
19.证明：作 PE∥A1A，连接 EQ，则 PE∥B1B，
∵A1P=AQ，A1B=AC，
∵ = = ，
∴EQ∥BC，
∵PE∩EQ=E，B1B∩BC=B，
∴平面 PEQ∥平面 BCC1B1．
∵PQ⊂平面 PEQ，
∴PQ∥平面 BCC1B1．
20.证明：（1）∵如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边
形，
∴BC∥AD，
又∵AD⊂平面 PAD，BC⊄ 平面 PAD，
∴BC∥平面 PAD；
（2）设 AC∩BD=H，连接 MH，
∵H 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，
∴H 为 AC 中点，
又∵M 为 PC 中点，∴MH 为△PAC 中位线，
可得 MH∥PA，
MH⊂平面 MBD，PA⊄ 平面 MBD，
所以 PA∥平面 MBD．
21.（1）证法一：
取 CD 中点 M，连接 OM，EM，
在矩形 ABCD 中，OM∥BC 且 OM= BC，
又 EF∥BC 且 EF= BC，则 EF∥OM 且 EF=OM．
所以四边形 EFOM 为平行四边形，所以 FO∥EM．
又因为 FO⊄ 平面 CDE，且 EM⊂平面 CDE，
所以 FO∥平面 CDE．…（12 分）
证法二
取 BC 中点 G，连接 OG，并延长 GO 交 AD 于 H，连接 FH
在矩形 ABCD 中，
OG∥CD，
且 CD⊂面 CDE，OG⊄ 面 CDE
OG∥面 CDE
又 EF∥BC 且 EF= BC，则 EF∥GC 且 EF=GC．
所以四边形 EFGC 为平行四边形，所以 FG∥EC．
又因为 FG⊄ 平面 CDE，且 EC⊂平面 CDE，
所以 FG∥平面 CDE．∵FG∩GO=O，FG⊂面 FGH，GO⊂面 FGH∴面 FGH∥面 CDE，∵OF⊂面
FGH∴OF∥面 CDE
22.证明：（1）如图，连结 SB，
∵E、G 分别是 BC、SC 的中点，
∴EG∥SB，
又 SB⊂平面 BDD1B1，EG 不包含于平面 BDD1B1，
∴直线 EG∥平面 BDD1B1．
（2）如图，连结 SD，
∵F，G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD，
又 SD⊂平面 BDD1B1，FG 不包含于平面 BDD1B1，
∴FG∥平面 BDD1B1，
又直线 EG∥平面 BDD1B1，且直线 EG⊂平面 EFG，直线 FG⊂平面 EFG，
EG∩FG=G，
∴平面 EFG∥平面 BDD1B1．