2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4-6正弦定理和余弦定理课件理北师大版 18页

第六节　 正弦定理和余弦定理 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 正弦定理 (1) 定理 : 在 △ABC 中 , 其中 R 为 △ABC 的外接圆半径 . (2) 运用方法 适用情形 : 两角 A,B 及其对边 a,b( 知三求一 ). 列方程 : . (3) 变形 :a=2Rsin A,sin A= ,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等 . 2. 余弦定理 (1) 定理 : 在△ ABC 中 ,a 2 =b 2 +c 2 -2bccos A, b 2 =c 2 +a 2 -2accos B, c 2 = ______________.  (2) 运用方法 适用情形 : 三边 a,b,c, 任一内角 A( 知三求一 ). 列方程 :a 2 =b 2 +c 2 -2bccos A 或 cos A=___________. a 2 +b 2 -2abcos C (3) 变形 :cos A= , b 2 +c 2 -a 2 =2bccos A 等等 . 3. 三角形面积公式 (1) 正弦定理推论 : S △ABC = absin C= bcsin A= .  (2) 其他常用公式方法 S= 底 × 高 ;S= absin C;S= ×C×r,(C 为周长 ,r 为内切圆半径 ) 等等 . 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 在 △ABC 中 , 已知 a,b 和角 B, 能用正弦定理求角 A; 已知 a,b 和角 C, 能用余弦定理求边 c. ( 　　 ) (2) 在三角形中 , 已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形 . ( 　　 ) (3) 在 △ABC 中 ,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B.( 　　 ) 提示 : 根据正弦定理和余弦定理知 (3) 是错误的 ,(1)(2) 是正确的 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 在三角形中 , 一个正弦值 ( 正数 ) 对应两个角 , 一个余弦值对应一个角 考点一、 T3 2 忽视三角形内角范围 , 即 0°0, 于 是有 cos B<0,B 为钝角 ,△ABC 是钝角三角形 . 3.( 必修 5P56A 组 T3 改编 ) 已知在 △ABC 中 ,A= ,B= ,a=1, 则 b 等于 ( 　　 ) 【解析】 选 D. 由正弦定理 4.( 必修 5P56A 组 T6 改编 ) 在 △ABC 中 ,A=60°,AC=4,BC= , 则 △ABC 的面积等于 　　　　 .  【解析】 设 △ABC 中 , 角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c. 由题意及余弦定理得 解得 c=2. 所以 答案 : 核心素养　数学运算 —— 正余弦定理结合三角变换　   【素养诠释】 数学运算是在明晰运算对象的基础上 , 依据运算法则解决数学问题的过程 . 主要包括 : 理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等 . 【典例】 (2019· 西安模拟 ) 在 △ABC 中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 asin A=4bsin B,ac= (a 2 -b 2 -c 2 ). (1) 求 cos A 的值 . (2) 求 sin (2B-A) 的值 . 【 素养立意 】 　 与三角恒等变换相结合 , 考查正弦定理、余弦定理 . 【解析】 (1) 由 asin A=4bsin B 及 得 a=2b. 由 ac= (a 2 -b 2 -c 2 ), 及余弦定理得 (2) 由 (1) 及 A∈(0,π), 可得 sin A= , 代入 asin A=4bsin B, 得 由 (1) 知 ,A 为钝角 , 所以 于是 sin 2B=2sin Bcos B= ,cos 2B=1-2sin 2 B= , 故 sin (2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A