2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期第一次阶段考试数学试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期第一次阶段考试数学试题 一、单选题 ‎1．若，则下列结论中不恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将，转化为，利用不等式的基本性质判断A，B的正误，利用重要不等式判断C的正误，利用特殊值判断D的正误.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以所以，即，故A，B正确.‎ 因为，所以，所以故C正确.‎ 当 时， ，故D错误.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎2．（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用二倍角公式直接计算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用二倍角的余弦公式求值，属于基础题.‎ ‎3．如图所示，为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列选项中的(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据直观图和原图的关系分析得解.‎ ‎【详解】‎ 由直观图知，该梯形中一边与y轴平行，即为直角梯形．故答案为C ‎【点睛】‎ 本题主要考查直观图和原图的关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．设ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则∠B=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得：‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.‎ ‎5．下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.‎ 若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列的最大项是 D．数列的最大项是 ‎【答案】C ‎【解析】根据数列的性质及每日新增确诊病例变化曲线图中的数据对各个选项进行判断，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即，所以不是递增数列，所以选项A错误;‎ 因为2月23日新增确诊病例数为0，所以，所以数列不是递增数列，所以选项B错误;‎ 因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列的最大项是，所以选项C正确;‎ 数列的最大项是最后项，所以选项D错误,‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查折线图与数列的性质、数列前n项的和等知识，注意灵活分析图中数据进行判断.‎ ‎6．设是等差数列的前项和,,,则公差 A． B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得到的方程组，解方程组即得d的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．已知、为锐角，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∵α为锐角∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴.‎ 故选A.‎ ‎8．如图，正方体中，分别是的中点，是正方形的中心，则空间四边形在该正方体各面上的正投影不可能是 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据平行投影的性质，逐个验证光线从不同的面向正方体照射，可以得到不同的结果，分别从三个不同的方向，得到三种不同的结果，只有B答案不能形成.‎ 详解：光线由上向下照射可以得到A的投影，光线由面照射，可以得到C的投影，光线由侧面照射可以得到D的投影，只有B不可以得到，故选B.‎ 点睛：该题属于寻找几何图形在不同方向上的正投影的问题，在解题的过程中，时刻把握这种问题的解决方法就是逐一验证，最后找到不能形成的图像，得到答案.‎ ‎9．已知实数，若，则的最小值是（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】实数，‎ 则,当且仅当时取等号.‎ 故本题正确答案是 ‎ 点晴：本题考查的是利用均值不等式求最值的问题.解决本题的关键是巧妙利用，所以，把问题转化为关于的最值问题，再用基本不等式得到本题的最值.‎ ‎10．已知数列满足: ，，设数列的前项和为，则（ ）‎ A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题设条件，可得数列是以3为周期的数列，且，从而求得的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，数列满足: ，，‎ 可得，‎ 可得数列是以3为周期的数列，且 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎11．已知数列是等差数列，若， ，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由等差数列的性质和求和公式可得又可得:而,进而可得取得最小正值时.‎ ‎【考点】等差数列的性质 ‎12．已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据，利用正弦定理转化为，两边平方化简得， 再利用余弦定理，结合基本不等式，确定此时内角最大，再根据，得到 ，利用正弦定理求的面积.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，两边平方得：，‎ 化简得， ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号 因为在 上是减函数，所以.此时内角最大，‎ 又因为，所以 ，‎ 所以的面积. ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分式不等式的解法，先移项，再通分，转化为一元二次不等式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为不等式，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以不等式的解集为 .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分式不等式的解法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎14．已知等比数列满足，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等比数列的下标性质先求再求.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列的性质可得，于是，解得.‎ 又，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的基本性质. 在等比数列中，若，则.特别地，若，则.‎ ‎15．已知的内角对的边分别为，若，且满足条件的三角形有两个，则的取值范围是________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，，由正弦定理得 ，根据满足条件的三角形有两个，则有，利用正弦函数的值域求解.‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ 由正弦定理得：， ‎ 所以，‎ 若满足条件的三角形有两个，‎ 则以B为圆心，为半径的圆与AC由两个交点，‎ 当时，圆与AC相切，有一解，‎ 当时，圆与AC相交，有两解.‎ 所以， ‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用以及正弦函数的值域，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16．已知正项数列的前项和为，且满足，则_______（其中）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用通项公式与前n项和的关系，当时，由 ，得，两式相减得：，根据正项数列，则，数列 是等差数列，求得 ，要求，研究其通项， 再利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】‎ 当时，由 ‎ 得 两式相减得：，即 因为 所以 当 所以数列 是等差数列 所以 ‎ 所以，，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查通项公式与前n项和的关系，等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）根据题意，由，求解，注意角的范围，可求得值，再根据运用两角和正切公式，即可求解；‎ ‎（2）由题意，配凑组合角，运用两角差余弦公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组合角，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知数列满足，设．‎ ‎（1）证明数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）.‎ ‎【解析】(1)由(为非零常数)且可证得为等比数列.‎ ‎(2)可得，则可由错位相减法求和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：由可得.‎ 而，所以.‎ 又，所以数列为等比数列.‎ ‎(2)由(1)得为首项是，公比是的等比数列，‎ 所以.‎ 由可得.‎ 所以，‎ 则.‎ 以上两式相减得 ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的证明和错位相减法求和.若数列满足，其中分别是等差数列和等比数列，则可由错位相减法求数列的前项和.‎ ‎19．如图，在中，，，点在边上，，，为垂足.‎ ‎（1）若的面积为，求的长；‎ ‎（2）若，求角的大小.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】分析：第一问利用三角形的面积公式，求出，再用余弦定理求；第二问先求，在中，由正弦定理可得，结合，即可得结论.‎ 详解：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sin B＝，又BC＝2，sin B＝，∴BD＝，cos B＝．在△BCD中，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos B＝22＋2－2×2××＝． ∴CD＝．‎ ‎(2)∵CD＝AD＝，在△BCD中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，解得cos A＝，所以A＝．‎ 点睛：该题考查的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，在解题的过程中，只要对正余弦定理的内容以及三角形的面积公式能够熟记，就能求得结果.‎ ‎20．已知数列中，．‎ ‎(1)求证：数列是等比数列；‎ ‎(2)求数列的通项公式；‎ ‎(3)设，若对任意，有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】分析：第一问将，变形为，利用等比数列的定义即可证明；第二问根据第一问的结论可以得出，之后应用累加法求得 ‎，一定不要忘记对首项的验证；第三问对相应的项进行裂项，之后求和，再利用数列的单调性，不等式的解法即可得出结果.‎ 详解：(1)证明： ，．‎ ‎， ， ．‎ ‎∴数列是首项、公比均为2的等比数列. ‎ ‎(2)是等比数列，首项为2，通项，‎ 故 ‎，当时， 符合上式，∴数列的通项公式为 .‎ ‎(3)解： ，‎ 故，又因为{Sn}单调递增，所以Sn的最小值为S1=，成立，‎ 由已知，有，解得，所以的取值范围为．‎ 点睛：该题属于数列的综合题，该题考查了等比数列的证明方法-------死咬定义，等比数列的通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，解不等式问题，在求解的过程中，要时刻注意细节问题，尤其是利用累加法求通项的时候一定不要忘记对首项的验证.‎