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- 2023-12-22 发布
2017-2018 学年新疆兵团第二师华山中学高二上
学期期末考试数学（理科） 试卷
（考试时间：120 分钟，满分：150 分） 命题教师：陈瑾
一、选择题：（12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1、已知复数 z 满足 iz=2+3i，则 z 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2、设命题 p：∀x＞0，x-lnx＞0，则￢p 为
A. ∃x0＞0，x0-lnx0＞0 B. ∃x0＞0，x0-lnx0≤0
C. ∀x＞0，x-lnx＜0 D. ∀x＞0，x-lnx≤0
3、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，
竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个
程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
4、 已知命题 p，q，“￢p 为真”是“p∧q 为假”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5、已知双曲线 的一条渐近线为 ，则实数 a 的值为
A. B. 2 C. D. 4
6、如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1D1，CC1 的中点，则异面直线 AE 与 BF 所
成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. - D. -
7、函数 f（x）=2x2-4lnx 的单调减区间为
A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）
8、由曲线 xy=1 与直线 y=x，y=3 所围成的封闭图形面积为
A. 2-ln3 B. 4-ln3 C. 2 D. ln3
9、若 a＞0，b＞0，且函数 f（x）=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值，则 + 的最小值为
A. B. C. D.
10、《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，
则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的
是
A. 合情推理 B. 归纳推理 C. 类比推理 D. 演绎推理
11、已知 F 是椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF⊥x 轴，
若|PF|= |AF|，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
12、若函数 f（x）=4-x2+alnx 满足∀x＞0，有 f（x）≤3 成立，则 a 的取值范围是（ ）
A. {2} B. （ ，2] C. [2，3） D. （1，2]
二、填空题：（4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13、
14、统计某产品的广告费用 x 与销售额 y 的一组数据如表：
广告费用 x 2 3 5 6
销售额 y 7 m 9 12
若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得 y 对 x 的回归直线方程是 =1.1x+4.6，则数据中
的 m 的值应该是______．
15、点 P 是双曲线 x2- =1（b＞0）上一点，F1、F2 是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=6，
PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为
16、 若函数 y=ex+ax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是
三、解答题：（6 小题，共 70 分）
17（10 分）、设命题 p：实数 x 满足（x-a）（x-3a）＜0，其中 a＞0，命题 q：实数 x 满足
（x-3）（x-2）≤0．
（1）若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围．
（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
18（12 分）、已知集合 A={（x，y）︱x∈[0，2]，y∈[-1，1]}．
（1）若 x，y∈Z，求 x+y≥0 的概率；
（2）若 x，y∈R，求 x+y≥0 的概率．
19（12 分）、已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k（x+1）相交于 A，B 两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当 AB 的弦长等于 时，求 k 的值．
20（12 分）、如图，在四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD
于点 M．
（1）求证：AM⊥PD
（2）求点 D 到平面 ACM 的距离．
21（12 分）、已知点 P（0，-2），椭圆 E： 的离心率为 ，F 是椭圆 E 的
右焦点，直线 PF 的斜率为 2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）直线 l 被圆 O：x2+y2=3 截得的弦长为 3，且与椭圆 E 交于 A、B 两点，求△AOB 面积的最
大值．
22（12 分）、已知函数 f（x）=x-lnx，g（x）= ．
（1）求 f（x）的最小值；
（2）求证：f（x）＞g（x）；
（3）若 f（x）+ax+b≥0，求 的最小值．
2017-2018 高二期末考试数学（理科）试卷
一、 选择题：（12 小题，每题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C A D A C B C A B A
3、解：当 n=1 时，a= ，b=4，满足进行循环的条件，
当 n=2 时，a= ，b=8 满足进行循环的条件，
当 n=3 时，a= ，b=16 满足进行循环的条件，
当 n=4 时，a= ，b=32 不满足进行循环的条件，
故输出的 n 值为 4，故选 C．
4、解：若“￢p 为真”，则 p 为假，“p∧q 为假”，
若“p∧q 为假”，则可能 p 真 q 假，则“￢p 为真”不成立，
故“￢p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件，故选：A．
5、解：∵双曲线 的渐近线为 ，∴ ，解得 a=4，故选 D．
6、解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长为 2，E，F 分别是 C1D1，CC1 的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
=（-2，1，2）， =（-2，0，1），
设异面直线 AE 与 BF 所成角的平面角为 θ，则 cosθ= = = ．
∴异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 ．故选：A．
7、解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=4x-= ，
令 f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故选：C．
8、解：方法一：由 xy=1，y=3 可得交点坐标为（，3），由 xy=1，y=x 可得交点坐标为（1，
1），由 y=x，y=3 可得交点坐标为（3，3），
∴由曲线 xy=1，直线 y=x，y=3 所围成的平面图形的面积为
（3-）dx+ （3-x）dx=（3x-lnx） +（3x-x2） ，=（3-1-ln3）+（9--3+）
=4-ln3 故选：B．
方法二：由 xy=1，y=3 可得交点坐标为（，3），由 xy=1，y=x 可得交点坐标为（1，1），
由 y=x，y=3 可得交点坐标为（3，3），
对 y 积分，则 S= （y-）dy=（y2-lny） =-ln3-（-0）=4-ln3，
故选 B．
9、解：函数 f（x）=4x3-ax2-2bx 的导数为 f′（x）=12x2-2ax-2b，
由函数 f（x）=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值，可得 f′（1）=0，即 12-2a-2b=0，即为 a+b=6，
（a，b＞0），则+=（a+b）（+）=（5+ +）≥•（5+2 ）=•（5+4）=．
当且仅当 =，即有 a=2b=4 时，取得最小值．故选：C．
11、解：根据椭圆几何性质可知|PF|= ，|AF|=a+c，所以 =（a+c），即 4b2=3a2-3ac，
因为 b2=a2-c2，所以有 4a2-4c2=3a2-3ac，整理可得 4c2+3ac-a2=0，两边同除以 a2 得：
4e2+3e-1=0，
所以（4e-1）（e+1）=0，由于 0＜e＜1，所以 e= ．故选：B
12、解：函数 f（x）=4-x2+alnx 满足∀x＞0，有 f（x）≤3 成立⇔x2-1-alnx≥0 对∀x＞0 恒成立．
令 g（x）=x2-1-alnx， ，
①当 a≤0 时，g′（x）≥0 恒成立，g（x）在（0，+∞）单调递增，而 g（1）=0，故不符合题
意；
②当 a＞0 时，令 g′（x）=0，x ，g（x）在 x= 处有极小值，而 g（1）=0 ∴ ，
∴a=2，
故选：A
二、填空题：（4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13、解： （x2+x）|=6；
14、解：由题意， =4， =7+ ，∵y 对 x 的回归直线方程是 =1.1x+4.6，∴7+ =4.4+4.6，∴m=8
15、解：根据题意，点 P 是双曲线 x2- =1（b＞0）上一点，则有||PF1|-|PF2||=2a=2，
设|PF1|＞|PF2|，则有|PF1|-|PF2|=2，又由|PF1|+|PF2|=6，解可得：|PF1|=4，|PF2|=2，
又由 PF1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，则 c= ，
又由 a=1，则双曲线的离心率 e= = ；
16、解：∵y=ex+ax，∴y'=ex+a．由题意知 ex+a=0 有大于 0 的实根，由 ex=-a，得 a=-ex，
∵x＞0，∴ex＞1．∴a＜-1．
三、解答题：（6 小题，共 70 分）
17 解：（1）由（x-1）（x-3）＜0，得 P={x|1＜x＜3}，由（x-3）（x-2）≤0，可得
Q={x|2≤x≤3}，
由 p∧q 为真，即为 p，q 均为真命题，可得 x 的取值范围是 2≤x＜3；
（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得 q 是 p 的充分不必要条件，
由题意可得 P={x|a＜x＜3a}， Q={x|2≤x≤3}，由 Q⊊P，可得 a＜2 且 3＜3a，解得 1＜a＜2．
18、解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即 x=0，1，2；y∈[-1，1]，
即 y=-1，0，1．
则基本事件有：（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），
（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）共 9 个．
其中满足“x+y≥0”的基本事件有 8 个，∴P（A）=．
故 x，y∈Z，x+y≥0 的概率为．
（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件 B，
∵x∈[0，2]， y∈[-1，1]，则基本事件为如图四边形 ABCD 区域，事件 B 包括的区域为其中的阴
影部分．
基本事件如图四边形 ABCD 区域 S=4，事件 B 包括的区域如阴影部分 S′=S-=
∴P（B）= =．
19、解：（1）证明：由方程 y2=-x，y=k（x+1）消去 x 后，整理得 ky2+y-k=0．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理 y1•y2=-1．
∵A、B 在抛物线 y2=-x 上，∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2．∵kOA•kOB= • = = =-1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与 x 轴交于 N，又显然 k≠0，∴令 y=0，则 x=-1，即 N（-1，0）．
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|•|y1-y2|，
∴S△OAB=•1• = ．∵S△OAB= ，∴ = ．解得 k=±．
20、证明：（1）∵在四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD， ∴AB⊥AD，
AB⊥PA，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面 PAD，∵BM⊥PD 于点 M，
AB∩BM=B，∴PD⊥平面 ABM，∵AM⊂平面 ABM，∴AM⊥PD．
解：（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，
建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，
0，2），D（0，2，0），M（0，1，1），
=（0，2，0）， =（1，2，0）， =（0，1，1），
设平面 ACM 的法向量=（x，y，z），则 ，取 x=2，得=（2，-1，1），
∴点 D 到平面 ACM 的距离：d= = = ．
21、解：（1）设 F（c，0），由已知得，直线 PF 的斜率 k= ，得 c=1，又 ，
则 ，b=1，故椭圆 E 的方程为
（2）记点 O 到直线 l 的距离为 d，则 ，
①当直线 l 与 y 轴平行时，直线 l 的方程为 ，易求 ，∴ ，
②当直线 l 与 y 轴不平行时，设直线 l 的方程为 y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得 ，∴ ，．
由 得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0，
∴ ， ，∴ ，
，当且仅当 k=±1 时取等号，
综上当 k=±1 时，△AOB 面积的最大值为
22、（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1-= ，
令 f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 令 f′（x）＞0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）的最小值是 f（1）=1；
（2）证明：g（x）= ，g′（x）= ，
令 g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令 g′（x）＜0，解得：x＞e，
故 g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故 g（x）max=g（e）=，
由（1）f（x）min=f（1）=1＞g（e）=，故 f（x）＞g（x）；
（3）解：f（x）+ax+b≥0，即 x-lnx+ax+b≥0．∴b≥lnx-ax-x，
令 h（x）=lnx-ax-x，h′（x）= = ，
若 a+1≤0，则 h′（x）＞0，h（x）为增函数，无最大值；
若 a+1＞0，由 h′（x）＞0，得 0＜x＜ ，由 h′（x）＜0，得 x＞ ，
∴h（x）在（0， ）上为增函数，在（ ）上为减函数，
∴h（x）≤h（ ）=-1-ln（a+1）．∴b≥-1-ln（a+1），∴ ．
设 φ（a）= ．则 φ′（a）= ，
由 φ′（a）＞0，得 a＞e-1；由 φ′（a）＜0，得-1＜a＜e-1．
∴φ（a）≥φ（e-1）= ．∴ 的最小值为 ．