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- 2023-12-19 发布
长郡中学2018届高三月考试卷（四）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．已知是平面内夹角为90°的两个单位向量，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．1009 B．-1009 C．-1007 D．1008
9．已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．
10．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个.
A．53 B．59 C．66 D．71
11．椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
14．已知函数，若正实数满足，则的最小值为 ．
15．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ．
16．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，.
（1）求的长；
（2）若，求的值.
18．现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.
（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率；
（2）用分别表示这4个人中选择题目的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
19．如图1，在矩形中，，，点分别在边上，且，，交于点，交于.现将沿折起，使得平面平面，得到图2.
（1）在图2中，求证：；
（2）在图2中，若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为.
20．已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线
的斜率分别为，求证：为定值.
21．已知函数，.
（1）若函数存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围；
（2）设，若有极大值点，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.
（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）设点，直线与圆相交于两点，求的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若试比较，，的大小.
炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:BCCBB 6-10:CBBAD 11、12：AD
二、填空题
13． 14．1 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）由题意可得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
整理得，
解得：.
故的长为.
（2）在中，由正弦定理得，
即，
所以，
所以.
因为点在边上，所以，
而，
所以只能为钝角，
所以，
所以
.
18．解：由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为，
记“这4个人中恰有人选择题目”为事件，
∴，
（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为.
（2）的所有可能取值为0，3，4，且
，
，
.
∴的分布列是
所以.
19．解：（1）∵在矩形中，，，，，
∴，∴即.
∴在图2中，，.
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴.
依题意，且，∴四边形为平行四边形.
∴，∴，又∵，
∴平面，又∵平面，∴.
（2）如图1，在中，，，，
∵，，∴.
如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则
，，，，
∴，，，
∵，∴平面，
∴为平面的法向量.
设，则，
设为平面的法向量，则
即，可取.
依题意，有，
整理得，即，∴.
∴当点在线段的四等分点且时，满足题意.
20．解：（1）依题意，，.
∵点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
∴，
∴.
∴椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，由解得，.
设，，则为定值.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.
将代入整理化简，得.
依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，
则，.
又，，
所以
.
综上得为常数2.
21．解：（1）因为，，
因为函数存在与直线垂直的切线，
所以在上有解，
即在上有解，
也即在上有解，
所以，得，
故所求实数的取值范围是.
（2）证明：因为，
因为，
①当时，单调递增无极值点，不符合题意，
②当或时，令，设的两根为和，
因为为函数的极大值点，所以，
又，，所以，，
所以，则，
要证明，只需要证明，
因为，.
令，，
所以，记，，
则，
当时，，当时，，
所以，所以.
所以在上单调递减，
所以，原题得证.
22．解：（1）由直线的参数方程为（为参数），
得直线的普通方程为.
又由得圆的直角坐标方程为.
（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的直角坐标方程，
得，
设是上述方程的两实数根，
所以，，
∴，
所以.
23．解：（1）
根据函数的单调性可知，当时，.
所以函数的值域.
（2）因为，所以，所以.
又，
由，知，，
所以，所以.
所以.